Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8674 / 9056
↖ ↑ ↗
← S 18.646245°
E 10.590820°		 ← 2 315.03 m → S 18.646245°
E 10.612793°		 →
↑
2 314.84 m
↓
↑
2 314.84 m
↓
S 18.667063°
E 10.590820°		 ← 2 314.75 m →
5 358 599 m²		 S 18.667063°
E 10.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9056 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529449462890625 y=0.552764892578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529449462890625 × 214)
    floor (0.529449462890625 × 16384)
    floor (8674.5)     		tx = 8674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552764892578125 × 214)
    floor (0.552764892578125 × 16384)
    floor (9056.5)     		ty = 9056
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8674 / 9056 ti = "14/8674/9056"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8674/9056.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8674 ÷ 214
    8674 ÷ 16384     		x = 0.5294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9056 ÷ 214
    9056 ÷ 16384     		y = 0.552734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552734375 × 2 - 1) × π
    -0.10546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.331339850173828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18484468} λ = 0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.331339850173828))-π/2
    2×atan(0.71796112836001)-π/2
    2×0.622678977965134-π/2
    1.24535795593027-1.57079632675     		φ = -0.32543837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32543837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.646245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8674 KachelY 9056 0.18484468 -0.32543837 10.590820 -18.646245
    Oben rechts KachelX + 1 8675 KachelY 9056 0.18522818 -0.32543837 10.612793 -18.646245
    Unten links KachelX 8674 KachelY + 1 9057 0.18484468 -0.32580171 10.590820 -18.667063
    Unten rechts KachelX + 1 8675 KachelY + 1 9057 0.18522818 -0.32580171 10.612793 -18.667063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32543837--0.32580171) × R
    0.000363340000000045 × 6371000     		dl = 2314.83914000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32543837--0.32580171) × R
    0.000363340000000045 × 6371000     		dr = 2314.83914000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18484468-0.18522818) × cos(-0.32543837) × R
    0.000383499999999981 × 0.94751065997265 × 6371000     		do = 2315.03242403187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18484468-0.18522818) × cos(-0.32580171) × R
    0.000383499999999981 × 0.947394428849541 × 6371000     		du = 2314.74843902775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32543837)-sin(-0.32580171))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94751065997265-0.947394428849541)×R²
    abs(0.18522818-0.18484468)×0.000116231123108768×R²
    0.000383499999999981×0.000116231123108768×6371000²
    0.000383499999999981×0.000116231123108768×40589641000000     		ar = 5358599.03466885m²