Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8674 / 8989
↖ ↑ ↗
← S 17.245744°
E 10.590820°		 ← 2 333.43 m → S 17.245744°
E 10.612793°		 →
↑
2 333.25 m
↓
↑
2 333.25 m
↓
S 17.266728°
E 10.590820°		 ← 2 333.17 m →
5 444 177 m²		 S 17.266728°
E 10.612793°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529449462890625 y=0.548675537109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529449462890625 × 214)
    floor (0.529449462890625 × 16384)
    floor (8674.5)     		tx = 8674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548675537109375 × 214)
    floor (0.548675537109375 × 16384)
    floor (8989.5)     		ty = 8989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8674 / 8989 ti = "14/8674/8989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8674/8989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8674 ÷ 214
    8674 ÷ 16384     		x = 0.5294189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8989 ÷ 214
    8989 ÷ 16384     		y = 0.54864501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5294189453125 × 2 - 1) × π
    0.058837890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.18484468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.54864501953125 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.305645671977478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18484468} λ = 0.18484468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.305645671977478))-π/2
    2×atan(0.736647588102305)-π/2
    2×0.634900654208387-π/2
    1.26980130841677-1.57079632675     		φ = -0.30099502
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18484468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.590820°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30099502 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.245744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8674 KachelY 8989 0.18484468 -0.30099502 10.590820 -17.245744
    Oben rechts KachelX + 1 8675 KachelY 8989 0.18522818 -0.30099502 10.612793 -17.245744
    Unten links KachelX 8674 KachelY + 1 8990 0.18484468 -0.30136125 10.590820 -17.266728
    Unten rechts KachelX + 1 8675 KachelY + 1 8990 0.18522818 -0.30136125 10.612793 -17.266728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30099502--0.30136125) × R
    0.000366230000000023 × 6371000     		dl = 2333.25133000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30099502--0.30136125) × R
    0.000366230000000023 × 6371000     		dr = 2333.25133000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18484468-0.18522818) × cos(-0.30099502) × R
    0.000383499999999981 × 0.955041967735619 × 6371000     		do = 2333.43350636602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18484468-0.18522818) × cos(-0.30136125) × R
    0.000383499999999981 × 0.954933327248658 × 6371000     		du = 2333.16806739999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30099502)-sin(-0.30136125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955041967735619-0.954933327248658)×R²
    abs(0.18522818-0.18484468)×0.000108640486960909×R²
    0.000383499999999981×0.000108640486960909×6371000²
    0.000383499999999981×0.000108640486960909×40589641000000     		ar = 5444177.22513443m²