Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8673 / 8986
↖ ↑ ↗
← S 17.182779°
E 10.568848°		 ← 2 334.17 m → S 17.182779°
E 10.590820°		 →
↑
2 334.08 m
↓
↑
2 334.08 m
↓
S 17.203770°
E 10.568848°		 ← 2 333.90 m →
5 447 823 m²		 S 17.203770°
E 10.590820°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529388427734375 y=0.548492431640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529388427734375 × 214)
    floor (0.529388427734375 × 16384)
    floor (8673.5)     		tx = 8673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548492431640625 × 214)
    floor (0.548492431640625 × 16384)
    floor (8986.5)     		ty = 8986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8673 / 8986 ti = "14/8673/8986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8673/8986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8673 ÷ 214
    8673 ÷ 16384     		x = 0.52935791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8986 ÷ 214
    8986 ÷ 16384     		y = 0.5484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52935791015625 × 2 - 1) × π
    0.0587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.18446119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.304495186386597
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18446119} λ = 0.18446119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.304495186386597))-π/2
    2×atan(0.73749557824466)-π/2
    2×0.635450128812876-π/2
    1.27090025762575-1.57079632675     		φ = -0.29989607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18446119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.568848°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.29989607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.182779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8673 KachelY 8986 0.18446119 -0.29989607 10.568848 -17.182779
    Oben rechts KachelX + 1 8674 KachelY 8986 0.18484468 -0.29989607 10.590820 -17.182779
    Unten links KachelX 8673 KachelY + 1 8987 0.18446119 -0.30026243 10.568848 -17.203770
    Unten rechts KachelX + 1 8674 KachelY + 1 8987 0.18484468 -0.30026243 10.590820 -17.203770
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.29989607--0.30026243) × R
    0.00036636000000001 × 6371000     		dl = 2334.07956000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.29989607--0.30026243) × R
    0.00036636000000001 × 6371000     		dr = 2334.07956000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18446119-0.18484468) × cos(-0.29989607) × R
    0.000383490000000014 × 0.955367197381122 × 6371000     		do = 2334.16726652249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18446119-0.18484468) × cos(-0.30026243) × R
    0.000383490000000014 × 0.955258902861887 × 6371000     		du = 2333.90267975142m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.29989607)-sin(-0.30026243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.955367197381122-0.955258902861887)×R²
    abs(0.18484468-0.18446119)×0.000108294519235108×R²
    0.000383490000000014×0.000108294519235108×6371000²
    0.000383490000000014×0.000108294519235108×40589641000000     		ar = 5447823.38405814m²