Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8673 / 7267
↖ ↑ ↗
← N 80.085516°
W132.357788°		 ← 105.16 m → N 80.085516°
W132.352295°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 80.084570°
W132.357788°		 ← 105.17 m →
11 062 m²		 N 80.084570°
W132.352295°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7267 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132347106933594 y=0.110893249511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132347106933594 × 216)
    floor (0.132347106933594 × 65536)
    floor (8673.5)     		tx = 8673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110893249511719 × 216)
    floor (0.110893249511719 × 65536)
    floor (7267.5)     		ty = 7267
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8673 / 7267 ti = "16/8673/7267"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8673/7267.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8673 ÷ 216
    8673 ÷ 65536     		x = 0.132339477539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7267 ÷ 216
    7267 ÷ 65536     		y = 0.110885620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132339477539062 × 2 - 1) × π
    -0.735321044921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31007919
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110885620117188 × 2 - 1) × π
    0.778228759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4448777544221
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31007919} λ = -2.31007919}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4448777544221))-π/2
    2×atan(11.5291401262923)-π/2
    2×1.48427612714289-π/2
    2.96855225428578-1.57079632675     		φ = 1.39775593
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31007919} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.357788°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39775593 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.085516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8673 KachelY 7267 -2.31007919 1.39775593 -132.357788 80.085516
    Oben rechts KachelX + 1 8674 KachelY 7267 -2.30998332 1.39775593 -132.352295 80.085516
    Unten links KachelX 8673 KachelY + 1 7268 -2.31007919 1.39773942 -132.357788 80.084570
    Unten rechts KachelX + 1 8674 KachelY + 1 7268 -2.30998332 1.39773942 -132.352295 80.084570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39775593-1.39773942) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39775593-1.39773942) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31007919--2.30998332) × cos(1.39775593) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172178131255402 × 6371000     		do = 105.164296832252m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31007919--2.30998332) × cos(1.39773942) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.172194394668803 × 6371000     		du = 105.174230326256m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39775593)-sin(1.39773942))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172178131255402-0.172194394668803)×R²
    abs(-2.30998332--2.31007919)×1.62634134005246e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.62634134005246e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.62634134005246e-05×40589641000000     		ar = 11062.251075401m²