Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8672 / 8990
↖ ↑ ↗
← S 17.266728°
E 10.546875°		 ← 2 333.17 m → S 17.266728°
E 10.568848°		 →
↑
2 333 m
↓
↑
2 333 m
↓
S 17.287709°
E 10.546875°		 ← 2 332.90 m →
5 442 963 m²		 S 17.287709°
E 10.568848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529327392578125 y=0.548736572265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529327392578125 × 214)
    floor (0.529327392578125 × 16384)
    floor (8672.5)     		tx = 8672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.548736572265625 × 214)
    floor (0.548736572265625 × 16384)
    floor (8990.5)     		ty = 8990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8672 / 8990 ti = "14/8672/8990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8672/8990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8672 ÷ 214
    8672 ÷ 16384     		x = 0.529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8990 ÷ 214
    8990 ÷ 16384     		y = 0.5487060546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529296875 × 2 - 1) × π
    0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5487060546875 × 2 - 1) × π
    -0.097412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.306029167174438
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18407769} λ = 0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.306029167174438))-π/2
    2×atan(0.736365141452344)-π/2
    2×0.634717537618551-π/2
    1.2694350752371-1.57079632675     		φ = -0.30136125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.30136125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.266728°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8672 KachelY 8990 0.18407769 -0.30136125 10.546875 -17.266728
    Oben rechts KachelX + 1 8673 KachelY 8990 0.18446119 -0.30136125 10.568848 -17.266728
    Unten links KachelX 8672 KachelY + 1 8991 0.18407769 -0.30172744 10.546875 -17.287709
    Unten rechts KachelX + 1 8673 KachelY + 1 8991 0.18446119 -0.30172744 10.568848 -17.287709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.30136125--0.30172744) × R
    0.000366189999999988 × 6371000     		dl = 2332.99648999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.30136125--0.30172744) × R
    0.000366189999999988 × 6371000     		dr = 2332.99648999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18407769-0.18446119) × cos(-0.30136125) × R
    0.000383500000000009 × 0.954933327248658 × 6371000     		do = 2333.16806740016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18407769-0.18446119) × cos(-0.30172744) × R
    0.000383500000000009 × 0.95482457056863 × 6371000     		du = 2332.90234454212m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.30136125)-sin(-0.30172744))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.954933327248658-0.95482457056863)×R²
    abs(0.18446119-0.18407769)×0.00010875668002841×R²
    0.000383500000000009×0.00010875668002841×6371000²
    0.000383500000000009×0.00010875668002841×40589641000000     		ar = 5442963.00740031m²