Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8672 / 7268
↖ ↑ ↗
← N 80.084570°
W132.363281°		 ← 105.19 m → N 80.084570°
W132.357788°		 →
↑
105.19 m
↓
↑
105.19 m
↓
N 80.083624°
W132.363281°		 ← 105.20 m →
11 064 m²		 N 80.083624°
W132.357788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132331848144531 y=0.110908508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132331848144531 × 216)
    floor (0.132331848144531 × 65536)
    floor (8672.5)     		tx = 8672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110908508300781 × 216)
    floor (0.110908508300781 × 65536)
    floor (7268.5)     		ty = 7268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8672 / 7268 ti = "16/8672/7268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8672/7268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8672 ÷ 216
    8672 ÷ 65536     		x = 0.13232421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7268 ÷ 216
    7268 ÷ 65536     		y = 0.11090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13232421875 × 2 - 1) × π
    -0.7353515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.31017507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11090087890625 × 2 - 1) × π
    0.7781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31017507} λ = -2.31017507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44478188062286))-π/2
    2×atan(11.5280348368114)-π/2
    2×1.48426787306722-π/2
    2.96853574613443-1.57079632675     		φ = 1.39773942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31017507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.363281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39773942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.084570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8672 KachelY 7268 -2.31017507 1.39773942 -132.363281 80.084570
    Oben rechts KachelX + 1 8673 KachelY 7268 -2.31007919 1.39773942 -132.357788 80.084570
    Unten links KachelX 8672 KachelY + 1 7269 -2.31017507 1.39772291 -132.363281 80.083624
    Unten rechts KachelX + 1 8673 KachelY + 1 7269 -2.31007919 1.39772291 -132.357788 80.083624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39773942-1.39772291) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dl = 105.18521000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39773942-1.39772291) × R
    1.65100000000251e-05 × 6371000     		dr = 105.18521000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31017507--2.31007919) × cos(1.39773942) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172194394668803 × 6371000     		do = 105.185200831073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31017507--2.31007919) × cos(1.39772291) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.172210658035266 × 6371000     		du = 105.195135332547m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39773942)-sin(1.39772291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172194394668803-0.172210658035266)×R²
    abs(-2.31007919--2.31017507)×1.62633664637646e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.62633664637646e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.62633664637646e-05×40589641000000     		ar = 11064.4499198182m²