Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8670 / 9302
↖ ↑ ↗
← S 23.684774°
E 10.502929°		 ← 2 237.48 m → S 23.684774°
E 10.524902°		 →
↑
2 237.30 m
↓
↑
2 237.30 m
↓
S 23.704895°
E 10.502929°		 ← 2 237.13 m →
5 005 537 m²		 S 23.704895°
E 10.524902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9302 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529205322265625 y=0.567779541015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529205322265625 × 214)
    floor (0.529205322265625 × 16384)
    floor (8670.5)     		tx = 8670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567779541015625 × 214)
    floor (0.567779541015625 × 16384)
    floor (9302.5)     		ty = 9302
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8670 / 9302 ti = "14/8670/9302"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8670/9302.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8670 ÷ 214
    8670 ÷ 16384     		x = 0.5291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9302 ÷ 214
    9302 ÷ 16384     		y = 0.5677490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5291748046875 × 2 - 1) × π
    0.058349609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.18331070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5677490234375 × 2 - 1) × π
    -0.135498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.425679668626099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18331070} λ = 0.18331070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425679668626099))-π/2
    2×atan(0.653325589288292)-π/2
    2×0.57870951750131-π/2
    1.15741903500262-1.57079632675     		φ = -0.41337729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18331070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.502929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41337729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.684774°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8670 KachelY 9302 0.18331070 -0.41337729 10.502929 -23.684774
    Oben rechts KachelX + 1 8671 KachelY 9302 0.18369420 -0.41337729 10.524902 -23.684774
    Unten links KachelX 8670 KachelY + 1 9303 0.18331070 -0.41372846 10.502929 -23.704895
    Unten rechts KachelX + 1 8671 KachelY + 1 9303 0.18369420 -0.41372846 10.524902 -23.704895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41337729--0.41372846) × R
    0.000351170000000012 × 6371000     		dl = 2237.30407000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41337729--0.41372846) × R
    0.000351170000000012 × 6371000     		dr = 2237.30407000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18331070-0.18369420) × cos(-0.41337729) × R
    0.000383500000000009 × 0.915769375703161 × 6371000     		do = 2237.47962661401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18331070-0.18369420) × cos(-0.41372846) × R
    0.000383500000000009 × 0.915628252694238 × 6371000     		du = 2237.13482380045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41337729)-sin(-0.41372846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915769375703161-0.915628252694238)×R²
    abs(0.18369420-0.18331070)×0.000141123008922328×R²
    0.000383500000000009×0.000141123008922328×6371000²
    0.000383500000000009×0.000141123008922328×40589641000000     		ar = 5005536.61223762m²