Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8668 / 12164
↖ ↑ ↗
← S 65.403445°
E 10.458984°		 ← 1 016.96 m → S 65.403445°
E 10.480957°		 →
↑
1 016.81 m
↓
↑
1 016.81 m
↓
S 65.412589°
E 10.458984°		 ← 1 016.60 m →
1 033 873 m²		 S 65.412589°
E 10.480957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12164 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.529083251953125 y=0.742462158203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.529083251953125 × 214)
    floor (0.529083251953125 × 16384)
    floor (8668.5)     		tx = 8668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742462158203125 × 214)
    floor (0.742462158203125 × 16384)
    floor (12164.5)     		ty = 12164
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8668 / 12164 ti = "14/8668/12164"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8668/12164.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8668 ÷ 214
    8668 ÷ 16384     		x = 0.529052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12164 ÷ 214
    12164 ÷ 16384     		y = 0.742431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.529052734375 × 2 - 1) × π
    0.05810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18254371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742431640625 × 2 - 1) × π
    -0.48486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.5232429223269
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18254371} λ = 0.18254371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.5232429223269))-π/2
    2×atan(0.218003770095419)-π/2
    2×0.214645436555361-π/2
    0.429290873110721-1.57079632675     		φ = -1.14150545
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18254371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.458984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14150545 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.403445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8668 KachelY 12164 0.18254371 -1.14150545 10.458984 -65.403445
    Oben rechts KachelX + 1 8669 KachelY 12164 0.18292721 -1.14150545 10.480957 -65.403445
    Unten links KachelX 8668 KachelY + 1 12165 0.18254371 -1.14166505 10.458984 -65.412589
    Unten rechts KachelX + 1 8669 KachelY + 1 12165 0.18292721 -1.14166505 10.480957 -65.412589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14150545--1.14166505) × R
    0.000159600000000149 × 6371000     		dl = 1016.81160000095m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14150545--1.14166505) × R
    0.000159600000000149 × 6371000     		dr = 1016.81160000095m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18254371-0.18292721) × cos(-1.14150545) × R
    0.000383500000000009 × 0.416226128964564 × 6371000     		do = 1016.95635203737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18254371-0.18292721) × cos(-1.14166505) × R
    0.000383500000000009 × 0.416081005587125 × 6371000     		du = 1016.60177520942m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14150545)-sin(-1.14166505))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416226128964564-0.416081005587125)×R²
    abs(0.18292721-0.18254371)×0.000145123377439049×R²
    0.000383500000000009×0.000145123377439049×6371000²
    0.000383500000000009×0.000145123377439049×40589641000000     		ar = 1033872.74872497m²