Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8664 / 25741
↖ ↑ ↗
← S 71.120326°
W 84.814453°		 ← 395.30 m → S 71.120326°
W 84.803467°		 →
↑
395.26 m
↓
↑
395.26 m
↓
S 71.123880°
W 84.814453°		 ← 395.23 m →
156 231 m²		 S 71.123880°
W 84.803467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264419555664062 y=0.785568237304688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264419555664062 × 215)
    floor (0.264419555664062 × 32768)
    floor (8664.5)     		tx = 8664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785568237304688 × 215)
    floor (0.785568237304688 × 32768)
    floor (25741.5)     		ty = 25741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8664 / 25741 ti = "15/8664/25741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8664/25741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8664 ÷ 215
    8664 ÷ 32768     		x = 0.264404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25741 ÷ 215
    25741 ÷ 32768     		y = 0.785552978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264404296875 × 2 - 1) × π
    -0.47119140625 × 3.1415926535     		Λ = -1.48029146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785552978515625 × 2 - 1) × π
    -0.57110595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.79418227897946
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48029146} λ = -1.48029146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79418227897946))-π/2
    2×atan(0.166263353813876)-π/2
    2×0.164756239263081-π/2
    0.329512478526161-1.57079632675     		φ = -1.24128385
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48029146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.814453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24128385 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.120326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8664 KachelY 25741 -1.48029146 -1.24128385 -84.814453 -71.120326
    Oben rechts KachelX + 1 8665 KachelY 25741 -1.48009971 -1.24128385 -84.803467 -71.120326
    Unten links KachelX 8664 KachelY + 1 25742 -1.48029146 -1.24134589 -84.814453 -71.123880
    Unten rechts KachelX + 1 8665 KachelY + 1 25742 -1.48009971 -1.24134589 -84.803467 -71.123880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24128385--1.24134589) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dl = 395.256839999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24128385--1.24134589) × R
    6.20399999999854e-05 × 6371000     		dr = 395.256839999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48029146--1.48009971) × cos(-1.24128385) × R
    0.000191749999999935 × 0.323581772308568 × 6371000     		do = 395.300193636575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48029146--1.48009971) × cos(-1.24134589) × R
    0.000191749999999935 × 0.323523069424875 × 6371000     		du = 395.228479889769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24128385)-sin(-1.24134589))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323581772308568-0.323523069424875)×R²
    abs(-1.48009971--1.48029146)×5.87028836922521e-05×R²
    0.000191749999999935×5.87028836922521e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.87028836922521e-05×40589641000000     		ar = 156230.932763663m²