Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8663 / 9044
↖ ↑ ↗
← S 18.396230°
E 10.349121°		 ← 2 318.36 m → S 18.396230°
E 10.371094°		 →
↑
2 318.22 m
↓
↑
2 318.22 m
↓
S 18.417079°
E 10.349121°		 ← 2 318.08 m →
5 374 130 m²		 S 18.417079°
E 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9044 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528778076171875 y=0.552032470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528778076171875 × 214)
    floor (0.528778076171875 × 16384)
    floor (8663.5)     		tx = 8663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.552032470703125 × 214)
    floor (0.552032470703125 × 16384)
    floor (9044.5)     		ty = 9044
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8663 / 9044 ti = "14/8663/9044"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8663/9044.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8663 ÷ 214
    8663 ÷ 16384     		x = 0.52874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9044 ÷ 214
    9044 ÷ 16384     		y = 0.552001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52874755859375 × 2 - 1) × π
    0.0574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18062624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.326737907810303
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18062624} λ = 0.18062624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.326737907810303))-π/2
    2×atan(0.721272758212392)-π/2
    2×0.624860770470272-π/2
    1.24972154094054-1.57079632675     		φ = -0.32107479
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18062624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32107479 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.396230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8663 KachelY 9044 0.18062624 -0.32107479 10.349121 -18.396230
    Oben rechts KachelX + 1 8664 KachelY 9044 0.18100973 -0.32107479 10.371094 -18.396230
    Unten links KachelX 8663 KachelY + 1 9045 0.18062624 -0.32143866 10.349121 -18.417079
    Unten rechts KachelX + 1 8664 KachelY + 1 9045 0.18100973 -0.32143866 10.371094 -18.417079
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32107479--0.32143866) × R
    0.000363869999999988 × 6371000     		dl = 2318.21576999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32107479--0.32143866) × R
    0.000363869999999988 × 6371000     		dr = 2318.21576999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18062624-0.18100973) × cos(-0.32107479) × R
    0.000383490000000014 × 0.948896776888081 × 6371000     		do = 2318.35863947637m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18062624-0.18100973) × cos(-0.32143866) × R
    0.000383490000000014 × 0.948781881574137 × 6371000     		du = 2318.07792554605m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32107479)-sin(-0.32143866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.948896776888081-0.948781881574137)×R²
    abs(0.18100973-0.18062624)×0.000114895313943597×R²
    0.000383490000000014×0.000114895313943597×6371000²
    0.000383490000000014×0.000114895313943597×40589641000000     		ar = 5374130.24011483m²