Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8663 / 9015
↖ ↑ ↗
← S 17.790535°
E 10.349121°		 ← 2 326.38 m → S 17.790535°
E 10.371094°		 →
↑
2 326.24 m
↓
↑
2 326.24 m
↓
S 17.811456°
E 10.349121°		 ← 2 326.11 m →
5 411 408 m²		 S 17.811456°
E 10.371094°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528778076171875 y=0.550262451171875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528778076171875 × 214)
    floor (0.528778076171875 × 16384)
    floor (8663.5)     		tx = 8663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550262451171875 × 214)
    floor (0.550262451171875 × 16384)
    floor (9015.5)     		ty = 9015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8663 / 9015 ti = "14/8663/9015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8663/9015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8663 ÷ 214
    8663 ÷ 16384     		x = 0.52874755859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9015 ÷ 214
    9015 ÷ 16384     		y = 0.55023193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52874755859375 × 2 - 1) × π
    0.0574951171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18062624
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55023193359375 × 2 - 1) × π
    -0.1004638671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.31561654709845
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18062624} λ = 0.18062624}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.31561654709845))-π/2
    2×atan(0.729339063735084)-π/2
    2×0.630146454246387-π/2
    1.26029290849277-1.57079632675     		φ = -0.31050342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18062624} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.349121°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31050342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -17.790535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8663 KachelY 9015 0.18062624 -0.31050342 10.349121 -17.790535
    Oben rechts KachelX + 1 8664 KachelY 9015 0.18100973 -0.31050342 10.371094 -17.790535
    Unten links KachelX 8663 KachelY + 1 9016 0.18062624 -0.31086855 10.349121 -17.811456
    Unten rechts KachelX + 1 8664 KachelY + 1 9016 0.18100973 -0.31086855 10.371094 -17.811456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31050342--0.31086855) × R
    0.000365130000000047 × 6371000     		dl = 2326.2432300003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31050342--0.31086855) × R
    0.000365130000000047 × 6371000     		dr = 2326.2432300003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18062624-0.18100973) × cos(-0.31050342) × R
    0.000383490000000014 × 0.952179876597688 × 6371000     		do = 2326.37995724393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18062624-0.18100973) × cos(-0.31086855) × R
    0.000383490000000014 × 0.952068252030094 × 6371000     		du = 2326.10723444946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31050342)-sin(-0.31086855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.952179876597688-0.952068252030094)×R²
    abs(0.18100973-0.18062624)×0.000111624567593838×R²
    0.000383490000000014×0.000111624567593838×6371000²
    0.000383490000000014×0.000111624567593838×40589641000000     		ar = 5411408.47629056m²