Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8662 / 9075
↖ ↑ ↗
← S 19.041349°
E 10.327148°		 ← 2 309.59 m → S 19.041349°
E 10.349121°		 →
↑
2 309.42 m
↓
↑
2 309.42 m
↓
S 19.062118°
E 10.327148°		 ← 2 309.30 m →
5 333 490 m²		 S 19.062118°
E 10.349121°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9075 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528717041015625 y=0.553924560546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528717041015625 × 214)
    floor (0.528717041015625 × 16384)
    floor (8662.5)     		tx = 8662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553924560546875 × 214)
    floor (0.553924560546875 × 16384)
    floor (9075.5)     		ty = 9075
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8662 / 9075 ti = "14/8662/9075"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8662/9075.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8662 ÷ 214
    8662 ÷ 16384     		x = 0.5286865234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9075 ÷ 214
    9075 ÷ 16384     		y = 0.55389404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5286865234375 × 2 - 1) × π
    0.057373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.18024274
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55389404296875 × 2 - 1) × π
    -0.1077880859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.338626258916077
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.18024274} λ = 0.18024274}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.338626258916077))-π/2
    2×atan(0.712748782818819)-π/2
    2×0.619231048141454-π/2
    1.23846209628291-1.57079632675     		φ = -0.33233423
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.18024274} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.327148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.33233423 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.041349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8662 KachelY 9075 0.18024274 -0.33233423 10.327148 -19.041349
    Oben rechts KachelX + 1 8663 KachelY 9075 0.18062624 -0.33233423 10.349121 -19.041349
    Unten links KachelX 8662 KachelY + 1 9076 0.18024274 -0.33269672 10.327148 -19.062118
    Unten rechts KachelX + 1 8663 KachelY + 1 9076 0.18062624 -0.33269672 10.349121 -19.062118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.33233423--0.33269672) × R
    0.000362489999999993 × 6371000     		dl = 2309.42378999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.33233423--0.33269672) × R
    0.000362489999999993 × 6371000     		dr = 2309.42378999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.18024274-0.18062624) × cos(-0.33233423) × R
    0.000383499999999981 × 0.945283375941067 × 6371000     		do = 2309.59054884411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.18024274-0.18062624) × cos(-0.33269672) × R
    0.000383499999999981 × 0.945165051322812 × 6371000     		du = 2309.30144884831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.33233423)-sin(-0.33269672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.945283375941067-0.945165051322812)×R²
    abs(0.18062624-0.18024274)×0.00011832461825545×R²
    0.000383499999999981×0.00011832461825545×6371000²
    0.000383499999999981×0.00011832461825545×40589641000000     		ar = 5333489.58985709m²