Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8661 / 25737
↖ ↑ ↗
← S 71.106100°
W 84.847412°		 ← 395.57 m → S 71.106100°
W 84.836426°		 →
↑
395.58 m
↓
↑
395.58 m
↓
S 71.109658°
W 84.847412°		 ← 395.49 m →
156 462 m²		 S 71.109658°
W 84.836426°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8661 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.264328002929688 y=0.785446166992188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.264328002929688 × 215)
    floor (0.264328002929688 × 32768)
    floor (8661.5)     		tx = 8661
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785446166992188 × 215)
    floor (0.785446166992188 × 32768)
    floor (25737.5)     		ty = 25737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8661 / 25737 ti = "15/8661/25737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8661/25737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8661 ÷ 215
    8661 ÷ 32768     		x = 0.264312744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25737 ÷ 215
    25737 ÷ 32768     		y = 0.785430908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264312744140625 × 2 - 1) × π
    -0.47137451171875 × 3.1415926535     		Λ = -1.48086670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785430908203125 × 2 - 1) × π
    -0.57086181640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.79341528858554
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.48086670} λ = -1.48086670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79341528858554))-π/2
    2×atan(0.166390925125844)-π/2
    2×0.164880376357278-π/2
    0.329760752714556-1.57079632675     		φ = -1.24103557
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.48086670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.847412°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24103557 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.106100°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8661 KachelY 25737 -1.48086670 -1.24103557 -84.847412 -71.106100
    Oben rechts KachelX + 1 8662 KachelY 25737 -1.48067496 -1.24103557 -84.836426 -71.106100
    Unten links KachelX 8661 KachelY + 1 25738 -1.48086670 -1.24109766 -84.847412 -71.109658
    Unten rechts KachelX + 1 8662 KachelY + 1 25738 -1.48067496 -1.24109766 -84.836426 -71.109658
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24103557--1.24109766) × R
    6.20900000001257e-05 × 6371000     		dl = 395.575390000801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24103557--1.24109766) × R
    6.20900000001257e-05 × 6371000     		dr = 395.575390000801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.48086670--1.48067496) × cos(-1.24103557) × R
    0.000191739999999996 × 0.323816684920922 × 6371000     		do = 395.566541743277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.48086670--1.48067496) × cos(-1.24109766) × R
    0.000191739999999996 × 0.323757939715815 × 6371000     		du = 395.494780037625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24103557)-sin(-1.24109766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323816684920922-0.323757939715815)×R²
    abs(-1.48067496--1.48086670)×5.87452051078463e-05×R²
    0.000191739999999996×5.87452051078463e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.87452051078463e-05×40589641000000     		ar = 156462.195489355m²