Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 866 / 242
↖ ↑ ↗
← N 79.624057°
W 27.773438°		 ← 3 520.35 m → N 79.624057°
W 27.597656°		 →
↑
3 525.71 m
↓
↑
3 525.71 m
↓
N 79.592349°
W 27.773438°		 ← 3 530.99 m →
12 430 495 m²		 N 79.592349°
W 27.597656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 866 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.423095703125 y=0.118408203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.423095703125 × 211)
    floor (0.423095703125 × 2048)
    floor (866.5)     		tx = 866
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.118408203125 × 211)
    floor (0.118408203125 × 2048)
    floor (242.5)     		ty = 242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 866 / 242 ti = "11/866/242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/866/242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 866 ÷ 211
    866 ÷ 2048     		x = 0.4228515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 242 ÷ 211
    242 ÷ 2048     		y = 0.1181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4228515625 × 2 - 1) × π
    -0.154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.48473793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1181640625 × 2 - 1) × π
    0.763671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.39914595218457
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48473793} λ = -0.48473793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.39914595218457))-π/2
    2×atan(11.01376607993)-π/2
    2×1.48024913643465-π/2
    2.9604982728693-1.57079632675     		φ = 1.38970195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48473793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.773438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38970195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.624057°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 866 KachelY 242 -0.48473793 1.38970195 -27.773438 79.624057
    Oben rechts KachelX + 1 867 KachelY 242 -0.48166997 1.38970195 -27.597656 79.624057
    Unten links KachelX 866 KachelY + 1 243 -0.48473793 1.38914855 -27.773438 79.592349
    Unten rechts KachelX + 1 867 KachelY + 1 243 -0.48166997 1.38914855 -27.597656 79.592349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38970195-1.38914855) × R
    0.000553400000000037 × 6371000     		dl = 3525.71140000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38970195-1.38914855) × R
    0.000553400000000037 × 6371000     		dr = 3525.71140000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48473793--0.48166997) × cos(1.38970195) × R
    0.00306795999999998 × 0.180106161709778 × 6371000     		do = 3520.35020272991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48473793--0.48166997) × cos(1.38914855) × R
    0.00306795999999998 × 0.180650484451326 × 6371000     		du = 3530.98952042659m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38970195)-sin(1.38914855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.180106161709778-0.180650484451326)×R²
    abs(-0.48166997--0.48473793)×0.000544322741547892×R²
    0.00306795999999998×0.000544322741547892×6371000²
    0.00306795999999998×0.000544322741547892×40589641000000     		ar = 12430494.740839m²