Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8656 / 3856
↖ ↑ ↗
← N 82.842440°
W132.451172°		 ← 76.11 m → N 82.842440°
W132.445679°		 →
↑
76.07 m
↓
↑
76.07 m
↓
N 82.841755°
W132.451172°		 ← 76.12 m →
5 790 m²		 N 82.841755°
W132.445679°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3856 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.132087707519531 y=0.0588455200195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.132087707519531 × 216)
    floor (0.132087707519531 × 65536)
    floor (8656.5)     		tx = 8656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0588455200195312 × 216)
    floor (0.0588455200195312 × 65536)
    floor (3856.5)     		ty = 3856
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8656 / 3856 ti = "16/8656/3856"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8656/3856.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8656 ÷ 216
    8656 ÷ 65536     		x = 0.132080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3856 ÷ 216
    3856 ÷ 65536     		y = 0.058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.132080078125 × 2 - 1) × π
    -0.73583984375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31170905
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.058837890625 × 2 - 1) × π
    0.88232421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.77190328363013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31170905} λ = -2.31170905}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.77190328363013))-π/2
    2×atan(15.9890367399956)-π/2
    2×1.50833482906374-π/2
    3.01666965812749-1.57079632675     		φ = 1.44587333
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31170905} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.451172°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44587333 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.842440°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8656 KachelY 3856 -2.31170905 1.44587333 -132.451172 82.842440
    Oben rechts KachelX + 1 8657 KachelY 3856 -2.31161317 1.44587333 -132.445679 82.842440
    Unten links KachelX 8656 KachelY + 1 3857 -2.31170905 1.44586139 -132.451172 82.841755
    Unten rechts KachelX + 1 8657 KachelY + 1 3857 -2.31161317 1.44586139 -132.445679 82.841755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44587333-1.44586139) × R
    1.19400000000436e-05 × 6371000     		dl = 76.0697400002777m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44587333-1.44586139) × R
    1.19400000000436e-05 × 6371000     		dr = 76.0697400002777m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31170905--2.31161317) × cos(1.44587333) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.124598330615201 × 6371000     		do = 76.1110746617752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31170905--2.31161317) × cos(1.44586139) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.124610177561059 × 6371000     		du = 76.118311386186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44587333)-sin(1.44586139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.124598330615201-0.124610177561059)×R²
    abs(-2.31161317--2.31170905)×1.18469458579851e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.18469458579851e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.18469458579851e-05×40589641000000     		ar = 5790.02490849312m²