Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8653 / 9293
↖ ↑ ↗
← S 23.503552°
E 10.129395°		 ← 2 240.51 m → S 23.503552°
E 10.151367°		 →
↑
2 240.36 m
↓
↑
2 240.36 m
↓
S 23.523700°
E 10.129395°		 ← 2 240.17 m →
5 019 180 m²		 S 23.523700°
E 10.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528167724609375 y=0.567230224609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528167724609375 × 214)
    floor (0.528167724609375 × 16384)
    floor (8653.5)     		tx = 8653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567230224609375 × 214)
    floor (0.567230224609375 × 16384)
    floor (9293.5)     		ty = 9293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8653 / 9293 ti = "14/8653/9293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8653/9293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8653 ÷ 214
    8653 ÷ 16384     		x = 0.52813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9293 ÷ 214
    9293 ÷ 16384     		y = 0.56719970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52813720703125 × 2 - 1) × π
    0.0562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17679129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56719970703125 × 2 - 1) × π
    -0.1343994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.422228211853455
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17679129} λ = 0.17679129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.422228211853455))-π/2
    2×atan(0.655584410187167)-π/2
    2×0.580290980141276-π/2
    1.16058196028255-1.57079632675     		φ = -0.41021437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17679129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.129395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41021437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.503552°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8653 KachelY 9293 0.17679129 -0.41021437 10.129395 -23.503552
    Oben rechts KachelX + 1 8654 KachelY 9293 0.17717478 -0.41021437 10.151367 -23.503552
    Unten links KachelX 8653 KachelY + 1 9294 0.17679129 -0.41056602 10.129395 -23.523700
    Unten rechts KachelX + 1 8654 KachelY + 1 9294 0.17717478 -0.41056602 10.151367 -23.523700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41021437--0.41056602) × R
    0.000351649999999981 × 6371000     		dl = 2240.36214999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41021437--0.41056602) × R
    0.000351649999999981 × 6371000     		dr = 2240.36214999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17679129-0.17717478) × cos(-0.41021437) × R
    0.000383490000000014 × 0.917035351862707 × 6371000     		do = 2240.5143346239m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17679129-0.17717478) × cos(-0.41056602) × R
    0.000383490000000014 × 0.916895055063869 × 6371000     		du = 2240.17155940999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41021437)-sin(-0.41056602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.917035351862707-0.916895055063869)×R²
    abs(0.17717478-0.17679129)×0.000140296798837203×R²
    0.000383490000000014×0.000140296798837203×6371000²
    0.000383490000000014×0.000140296798837203×40589641000000     		ar = 5019179.59323821m²