Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8653 / 12142
↖ ↑ ↗
← S 65.201468°
E 10.129395°		 ← 1 024.75 m → S 65.201468°
E 10.151367°		 →
↑
1 024.58 m
↓
↑
1 024.58 m
↓
S 65.210683°
E 10.129395°		 ← 1 024.40 m →
1 049 765 m²		 S 65.210683°
E 10.151367°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8653 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12142 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528167724609375 y=0.741119384765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528167724609375 × 214)
    floor (0.528167724609375 × 16384)
    floor (8653.5)     		tx = 8653
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.741119384765625 × 214)
    floor (0.741119384765625 × 16384)
    floor (12142.5)     		ty = 12142
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8653 / 12142 ti = "14/8653/12142"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8653/12142.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8653 ÷ 214
    8653 ÷ 16384     		x = 0.52813720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12142 ÷ 214
    12142 ÷ 16384     		y = 0.7410888671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52813720703125 × 2 - 1) × π
    0.0562744140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17679129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7410888671875 × 2 - 1) × π
    -0.482177734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51480602799377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17679129} λ = 0.17679129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51480602799377))-π/2
    2×atan(0.219850825617786)-π/2
    2×0.216408012863344-π/2
    0.432816025726688-1.57079632675     		φ = -1.13798030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17679129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.129395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13798030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.201468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8653 KachelY 12142 0.17679129 -1.13798030 10.129395 -65.201468
    Oben rechts KachelX + 1 8654 KachelY 12142 0.17717478 -1.13798030 10.151367 -65.201468
    Unten links KachelX 8653 KachelY + 1 12143 0.17679129 -1.13814112 10.129395 -65.210683
    Unten rechts KachelX + 1 8654 KachelY + 1 12143 0.17717478 -1.13814112 10.151367 -65.210683
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13798030--1.13814112) × R
    0.000160820000000061 × 6371000     		dl = 1024.58422000039m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13798030--1.13814112) × R
    0.000160820000000061 × 6371000     		dr = 1024.58422000039m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17679129-0.17717478) × cos(-1.13798030) × R
    0.000383490000000014 × 0.419428818059824 × 6371000     		do = 1024.75469163602m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17679129-0.17717478) × cos(-1.13814112) × R
    0.000383490000000014 × 0.419282822133796 × 6371000     		du = 1024.39799223027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13798030)-sin(-1.13814112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419428818059824-0.419282822133796)×R²
    abs(0.17717478-0.17679129)×0.000145995926028819×R²
    0.000383490000000014×0.000145995926028819×6371000²
    0.000383490000000014×0.000145995926028819×40589641000000     		ar = 1049764.75439325m²