Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8651 / 12139
↖ ↑ ↗
← S 65.173806°
E 10.085449°		 ← 1 025.83 m → S 65.173806°
E 10.107422°		 →
↑
1 025.67 m
↓
↑
1 025.67 m
↓
S 65.183030°
E 10.085449°		 ← 1 025.47 m →
1 051 972 m²		 S 65.183030°
E 10.107422°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12139 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.528045654296875 y=0.740936279296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.528045654296875 × 214)
    floor (0.528045654296875 × 16384)
    floor (8651.5)     		tx = 8651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740936279296875 × 214)
    floor (0.740936279296875 × 16384)
    floor (12139.5)     		ty = 12139
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8651 / 12139 ti = "14/8651/12139"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8651/12139.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8651 ÷ 214
    8651 ÷ 16384     		x = 0.52801513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12139 ÷ 214
    12139 ÷ 16384     		y = 0.74090576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52801513671875 × 2 - 1) × π
    0.0560302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.17602430
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.4818115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.51365554240289
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17602430} λ = 0.17602430}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51365554240289))-π/2
    2×atan(0.220103906379772)-π/2
    2×0.216649412295717-π/2
    0.433298824591434-1.57079632675     		φ = -1.13749750
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17602430} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.085449°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13749750 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.173806°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8651 KachelY 12139 0.17602430 -1.13749750 10.085449 -65.173806
    Oben rechts KachelX + 1 8652 KachelY 12139 0.17640779 -1.13749750 10.107422 -65.173806
    Unten links KachelX 8651 KachelY + 1 12140 0.17602430 -1.13765849 10.085449 -65.183030
    Unten rechts KachelX + 1 8652 KachelY + 1 12140 0.17640779 -1.13765849 10.107422 -65.183030
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13749750--1.13765849) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dl = 1025.66728999947m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13749750--1.13765849) × R
    0.000160989999999916 × 6371000     		dr = 1025.66728999947m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17602430-0.17640779) × cos(-1.13749750) × R
    0.000383490000000014 × 0.419867049315637 × 6371000     		do = 1025.82538472166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17602430-0.17640779) × cos(-1.13765849) × R
    0.000383490000000014 × 0.419720931666003 × 6371000     		du = 1025.468387919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13749750)-sin(-1.13765849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.419867049315637-0.419720931666003)×R²
    abs(0.17640779-0.17602430)×0.000146117649633348×R²
    0.000383490000000014×0.000146117649633348×6371000²
    0.000383490000000014×0.000146117649633348×40589641000000     		ar = 1051972.46466145m²