Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8650 / 9031
↖ ↑ ↗
← S 18.124970°
E 10.063477°		 ← 2 322.04 m → S 18.124970°
E 10.085449°		 →
↑
2 321.91 m
↓
↑
2 321.91 m
↓
S 18.145852°
E 10.063477°		 ← 2 321.77 m →
5 391 257 m²		 S 18.145852°
E 10.085449°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527984619140625 y=0.551239013671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527984619140625 × 214)
    floor (0.527984619140625 × 16384)
    floor (8650.5)     		tx = 8650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551239013671875 × 214)
    floor (0.551239013671875 × 16384)
    floor (9031.5)     		ty = 9031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8650 / 9031 ti = "14/8650/9031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8650/9031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8650 ÷ 214
    8650 ÷ 16384     		x = 0.5279541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9031 ÷ 214
    9031 ÷ 16384     		y = 0.55120849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5279541015625 × 2 - 1) × π
    0.055908203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.17564080
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55120849609375 × 2 - 1) × π
    -0.1024169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.321752470249817
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17564080} λ = 0.17564080}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.321752470249817))-π/2
    2×atan(0.724877596895228)-π/2
    2×0.62722795615952-π/2
    1.25445591231904-1.57079632675     		φ = -0.31634041
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17564080} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 10.063477°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31634041 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.124970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8650 KachelY 9031 0.17564080 -0.31634041 10.063477 -18.124970
    Oben rechts KachelX + 1 8651 KachelY 9031 0.17602430 -0.31634041 10.085449 -18.124970
    Unten links KachelX 8650 KachelY + 1 9032 0.17564080 -0.31670486 10.063477 -18.145852
    Unten rechts KachelX + 1 8651 KachelY + 1 9032 0.17602430 -0.31670486 10.085449 -18.145852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31634041--0.31670486) × R
    0.000364449999999961 × 6371000     		dl = 2321.91094999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31634041--0.31670486) × R
    0.000364449999999961 × 6371000     		dr = 2321.91094999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17564080-0.17602430) × cos(-0.31634041) × R
    0.000383499999999981 × 0.950380243794902 × 6371000     		do = 2322.04361648873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17564080-0.17602430) × cos(-0.31670486) × R
    0.000383499999999981 × 0.950266803693645 × 6371000     		du = 2321.76645072829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31634041)-sin(-0.31670486))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950380243794902-0.950266803693645)×R²
    abs(0.17602430-0.17564080)×0.000113440101257467×R²
    0.000383499999999981×0.000113440101257467×6371000²
    0.000383499999999981×0.000113440101257467×40589641000000     		ar = 5391256.78206896m²