Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 865 / 227
↖ ↑ ↗
← N 80.088352°
W 27.949219°		 ← 3 364.44 m → N 80.088352°
W 27.773438°		 →
↑
3 369.49 m
↓
↑
3 369.49 m
↓
N 80.058050°
W 27.949219°		 ← 3 374.62 m →
11 353 604 m²		 N 80.058050°
W 27.773438°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 865 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 227 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.422607421875 y=0.111083984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.422607421875 × 211)
    floor (0.422607421875 × 2048)
    floor (865.5)     		tx = 865
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111083984375 × 211)
    floor (0.111083984375 × 2048)
    floor (227.5)     		ty = 227
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 865 / 227 ti = "11/865/227"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/865/227.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 865 ÷ 211
    865 ÷ 2048     		x = 0.42236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 227 ÷ 211
    227 ÷ 2048     		y = 0.11083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42236328125 × 2 - 1) × π
    -0.1552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.48780589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11083984375 × 2 - 1) × π
    0.7783203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44516537581982
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.48780589} λ = -0.48780589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44516537581982))-π/2
    2×atan(11.5324566306159)-π/2
    2×1.48430088469322-π/2
    2.96860176938645-1.57079632675     		φ = 1.39780544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.48780589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -27.949219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39780544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.088352°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 865 KachelY 227 -0.48780589 1.39780544 -27.949219 80.088352
    Oben rechts KachelX + 1 866 KachelY 227 -0.48473793 1.39780544 -27.773438 80.088352
    Unten links KachelX 865 KachelY + 1 228 -0.48780589 1.39727656 -27.949219 80.058050
    Unten rechts KachelX + 1 866 KachelY + 1 228 -0.48473793 1.39727656 -27.773438 80.058050
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39780544-1.39727656) × R
    0.000528880000000065 × 6371000     		dl = 3369.49448000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39780544-1.39727656) × R
    0.000528880000000065 × 6371000     		dr = 3369.49448000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.48780589--0.48473793) × cos(1.39780544) × R
    0.00306796000000004 × 0.172129360435112 × 6371000     		do = 3364.4358591127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.48780589--0.48473793) × cos(1.39727656) × R
    0.00306796000000004 × 0.172650322461766 × 6371000     		du = 3374.61856890306m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39780544)-sin(1.39727656))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172129360435112-0.172650322461766)×R²
    abs(-0.48473793--0.48780589)×0.000520962026654331×R²
    0.00306796000000004×0.000520962026654331×6371000²
    0.00306796000000004×0.000520962026654331×40589641000000     		ar = 11353603.6124586m²