Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8647 / 9026
↖ ↑ ↗
← S 18.020528°
E  9.997558°		 ← 2 323.43 m → S 18.020528°
E 10.019531°		 →
↑
2 323.25 m
↓
↑
2 323.25 m
↓
S 18.041421°
E  9.997558°		 ← 2 323.15 m →
5 397 575 m²		 S 18.041421°
E 10.019531°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9026 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527801513671875 y=0.550933837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527801513671875 × 214)
    floor (0.527801513671875 × 16384)
    floor (8647.5)     		tx = 8647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.550933837890625 × 214)
    floor (0.550933837890625 × 16384)
    floor (9026.5)     		ty = 9026
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8647 / 9026 ti = "14/8647/9026"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8647/9026.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8647 ÷ 214
    8647 ÷ 16384     		x = 0.52777099609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9026 ÷ 214
    9026 ÷ 16384     		y = 0.5509033203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52777099609375 × 2 - 1) × π
    0.0555419921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.17449031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5509033203125 × 2 - 1) × π
    -0.101806640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.319834994265015
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17449031} λ = 0.17449031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.319834994265015))-π/2
    2×atan(0.726268865715197)-π/2
    2×0.628139393113682-π/2
    1.25627878622736-1.57079632675     		φ = -0.31451754
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17449031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.997558°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31451754 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.020528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8647 KachelY 9026 0.17449031 -0.31451754 9.997558 -18.020528
    Oben rechts KachelX + 1 8648 KachelY 9026 0.17487381 -0.31451754 10.019531 -18.020528
    Unten links KachelX 8647 KachelY + 1 9027 0.17449031 -0.31488220 9.997558 -18.041421
    Unten rechts KachelX + 1 8648 KachelY + 1 9027 0.17487381 -0.31488220 10.019531 -18.041421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31451754--0.31488220) × R
    0.000364660000000017 × 6371000     		dl = 2323.24886000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31451754--0.31488220) × R
    0.000364660000000017 × 6371000     		dr = 2323.24886000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17449031-0.17487381) × cos(-0.31451754) × R
    0.000383499999999981 × 0.950945742305645 × 6371000     		do = 2323.42528684181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17449031-0.17487381) × cos(-0.31488220) × R
    0.000383499999999981 × 0.950832868697255 × 6371000     		du = 2323.14950518121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31451754)-sin(-0.31488220))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.950945742305645-0.950832868697255)×R²
    abs(0.17487381-0.17449031)×0.000112873608390185×R²
    0.000383499999999981×0.000112873608390185×6371000²
    0.000383499999999981×0.000112873608390185×40589641000000     		ar = 5397574.85404912m²