Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8645 / 9028
↖ ↑ ↗
← S 18.062312°
E  9.953613°		 ← 2 322.87 m → S 18.062312°
E  9.975586°		 →
↑
2 322.74 m
↓
↑
2 322.74 m
↓
S 18.083201°
E  9.953613°		 ← 2 322.60 m →
5 395 108 m²		 S 18.083201°
E  9.975586°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8645 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9028 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527679443359375 y=0.551055908203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527679443359375 × 214)
    floor (0.527679443359375 × 16384)
    floor (8645.5)     		tx = 8645
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.551055908203125 × 214)
    floor (0.551055908203125 × 16384)
    floor (9028.5)     		ty = 9028
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8645 / 9028 ti = "14/8645/9028"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8645/9028.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8645 ÷ 214
    8645 ÷ 16384     		x = 0.52764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9028 ÷ 214
    9028 ÷ 16384     		y = 0.551025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52764892578125 × 2 - 1) × π
    0.0552978515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17372332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.551025390625 × 2 - 1) × π
    -0.10205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.320601984658936
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17372332} λ = 0.17372332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.320601984658936))-π/2
    2×atan(0.725712038039826)-π/2
    2×0.627774753282892-π/2
    1.25554950656578-1.57079632675     		φ = -0.31524682
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17372332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.953613°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.31524682 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.062312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8645 KachelY 9028 0.17372332 -0.31524682 9.953613 -18.062312
    Oben rechts KachelX + 1 8646 KachelY 9028 0.17410682 -0.31524682 9.975586 -18.062312
    Unten links KachelX 8645 KachelY + 1 9029 0.17372332 -0.31561140 9.953613 -18.083201
    Unten rechts KachelX + 1 8646 KachelY + 1 9029 0.17410682 -0.31561140 9.975586 -18.083201
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.31524682--0.31561140) × R
    0.000364580000000003 × 6371000     		dl = 2322.73918000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.31524682--0.31561140) × R
    0.000364580000000003 × 6371000     		dr = 2322.73918000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17372332-0.17410682) × cos(-0.31524682) × R
    0.000383500000000009 × 0.95071988105209 × 6371000     		do = 2322.87344489718m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17372332-0.17410682) × cos(-0.31561140) × R
    0.000383500000000009 × 0.950606779426773 × 6371000     		du = 2322.59710612773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.31524682)-sin(-0.31561140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.95071988105209-0.950606779426773)×R²
    abs(0.17410682-0.17372332)×0.000113101625316969×R²
    0.000383500000000009×0.000113101625316969×6371000²
    0.000383500000000009×0.000113101625316969×40589641000000     		ar = 5395108.28895943m²