Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8637 / 9129
↖ ↑ ↗
← S 20.159098°
E  9.777832°		 ← 2 293.60 m → S 20.159098°
E  9.799805°		 →
↑
2 293.43 m
↓
↑
2 293.43 m
↓
S 20.179724°
E  9.777832°		 ← 2 293.30 m →
5 259 873 m²		 S 20.179724°
E  9.799805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9129 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527191162109375 y=0.557220458984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527191162109375 × 214)
    floor (0.527191162109375 × 16384)
    floor (8637.5)     		tx = 8637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557220458984375 × 214)
    floor (0.557220458984375 × 16384)
    floor (9129.5)     		ty = 9129
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8637 / 9129 ti = "14/8637/9129"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8637/9129.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8637 ÷ 214
    8637 ÷ 16384     		x = 0.52716064453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9129 ÷ 214
    9129 ÷ 16384     		y = 0.55718994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52716064453125 × 2 - 1) × π
    0.0543212890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.17065536
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55718994140625 × 2 - 1) × π
    -0.1143798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.359334999551941
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.17065536} λ = 0.17065536}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.359334999551941))-π/2
    2×atan(0.698140435439834)-π/2
    2×0.609476843874327-π/2
    1.21895368774865-1.57079632675     		φ = -0.35184264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.17065536} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.777832°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35184264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.159098°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8637 KachelY 9129 0.17065536 -0.35184264 9.777832 -20.159098
    Oben rechts KachelX + 1 8638 KachelY 9129 0.17103886 -0.35184264 9.799805 -20.159098
    Unten links KachelX 8637 KachelY + 1 9130 0.17065536 -0.35220262 9.777832 -20.179724
    Unten rechts KachelX + 1 8638 KachelY + 1 9130 0.17103886 -0.35220262 9.799805 -20.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35184264--0.35220262) × R
    0.000359980000000037 × 6371000     		dl = 2293.43258000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35184264--0.35220262) × R
    0.000359980000000037 × 6371000     		dr = 2293.43258000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.17065536-0.17103886) × cos(-0.35184264) × R
    0.000383499999999981 × 0.93873928125295 × 6371000     		do = 2293.60150299067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.17065536-0.17103886) × cos(-0.35220262) × R
    0.000383499999999981 × 0.938615161190615 × 6371000     		du = 2293.29824311095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35184264)-sin(-0.35220262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93873928125295-0.938615161190615)×R²
    abs(0.17103886-0.17065536)×0.000124120062335198×R²
    0.000383499999999981×0.000124120062335198×6371000²
    0.000383499999999981×0.000124120062335198×40589641000000     		ar = 5259872.71625214m²