Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8634 / 8764
↖ ↑ ↗
← S 12.468760°
E  9.711914°		 ← 2 385.59 m → S 12.468760°
E  9.733887°		 →
↑
2 385.49 m
↓
↑
2 385.49 m
↓
S 12.490214°
E  9.711914°		 ← 2 385.39 m →
5 690 571 m²		 S 12.490214°
E  9.733887°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.527008056640625 y=0.534942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.527008056640625 × 214)
    floor (0.527008056640625 × 16384)
    floor (8634.5)     		tx = 8634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.534942626953125 × 214)
    floor (0.534942626953125 × 16384)
    floor (8764.5)     		ty = 8764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8634 / 8764 ti = "14/8634/8764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8634/8764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8634 ÷ 214
    8634 ÷ 16384     		x = 0.5269775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8764 ÷ 214
    8764 ÷ 16384     		y = 0.534912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5269775390625 × 2 - 1) × π
    0.053955078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16950488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.534912109375 × 2 - 1) × π
    -0.06982421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.219359252661377
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16950488} λ = 0.16950488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219359252661377))-π/2
    2×atan(0.803033174521575)-π/2
    2×0.676587704316204-π/2
    1.35317540863241-1.57079632675     		φ = -0.21762092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16950488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.711914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21762092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.468760°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8634 KachelY 8764 0.16950488 -0.21762092 9.711914 -12.468760
    Oben rechts KachelX + 1 8635 KachelY 8764 0.16988837 -0.21762092 9.733887 -12.468760
    Unten links KachelX 8634 KachelY + 1 8765 0.16950488 -0.21799535 9.711914 -12.490214
    Unten rechts KachelX + 1 8635 KachelY + 1 8765 0.16988837 -0.21799535 9.733887 -12.490214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21762092--0.21799535) × R
    0.000374430000000009 × 6371000     		dl = 2385.49353000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21762092--0.21799535) × R
    0.000374430000000009 × 6371000     		dr = 2385.49353000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16950488-0.16988837) × cos(-0.21762092) × R
    0.000383490000000014 × 0.976413872773476 × 6371000     		do = 2385.58881512142m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16950488-0.16988837) × cos(-0.21799535) × R
    0.000383490000000014 × 0.976332962170869 × 6371000     		du = 2385.39113314046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21762092)-sin(-0.21799535))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976413872773476-0.976332962170869)×R²
    abs(0.16988837-0.16950488)×8.09106026078421e-05×R²
    0.000383490000000014×8.09106026078421e-05×6371000²
    0.000383490000000014×8.09106026078421e-05×40589641000000     		ar = 5690570.96565307m²