Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8634 / 6618
↖ ↑ ↗
← N 80.680897°
W132.572021°		 ← 98.91 m → N 80.680897°
W132.566528°		 →
↑
98.88 m
↓
↑
98.88 m
↓
N 80.680008°
W132.572021°		 ← 98.92 m →
9 780 m²		 N 80.680008°
W132.566528°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8634 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131752014160156 y=0.100990295410156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131752014160156 × 216)
    floor (0.131752014160156 × 65536)
    floor (8634.5)     		tx = 8634
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.100990295410156 × 216)
    floor (0.100990295410156 × 65536)
    floor (6618.5)     		ty = 6618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8634 / 6618 ti = "16/8634/6618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8634/6618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8634 ÷ 216
    8634 ÷ 65536     		x = 0.131744384765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6618 ÷ 216
    6618 ÷ 65536     		y = 0.100982666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131744384765625 × 2 - 1) × π
    -0.73651123046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31381827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.100982666015625 × 2 - 1) × π
    0.79803466796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.50709985012894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31381827} λ = -2.31381827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.50709985012894))-π/2
    2×atan(12.2692956167721)-π/2
    2×1.4894718156061-π/2
    2.9789436312122-1.57079632675     		φ = 1.40814730
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31381827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.572021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40814730 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.680897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8634 KachelY 6618 -2.31381827 1.40814730 -132.572021 80.680897
    Oben rechts KachelX + 1 8635 KachelY 6618 -2.31372240 1.40814730 -132.566528 80.680897
    Unten links KachelX 8634 KachelY + 1 6619 -2.31381827 1.40813178 -132.572021 80.680008
    Unten rechts KachelX + 1 8635 KachelY + 1 6619 -2.31372240 1.40813178 -132.566528 80.680008
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40814730-1.40813178) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dl = 98.8779200002969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40814730-1.40813178) × R
    1.55200000000466e-05 × 6371000     		dr = 98.8779200002969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31381827--2.31372240) × cos(1.40814730) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161932836087025 × 6371000     		do = 98.9065958433675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31381827--2.31372240) × cos(1.40813178) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.161948151231176 × 6371000     		du = 98.9159501461106m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40814730)-sin(1.40813178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.161932836087025-0.161948151231176)×R²
    abs(-2.31372240--2.31381827)×1.53151441508181e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.53151441508181e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.53151441508181e-05×40589641000000     		ar = 9780.14093837786m²