Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8633 / 9136
↖ ↑ ↗
← S 20.303418°
E  9.689941°		 ← 2 291.47 m → S 20.303418°
E  9.711914°		 →
↑
2 291.27 m
↓
↑
2 291.27 m
↓
S 20.324024°
E  9.689941°		 ← 2 291.17 m →
5 250 026 m²		 S 20.324024°
E  9.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9136 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526947021484375 y=0.557647705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526947021484375 × 214)
    floor (0.526947021484375 × 16384)
    floor (8633.5)     		tx = 8633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557647705078125 × 214)
    floor (0.557647705078125 × 16384)
    floor (9136.5)     		ty = 9136
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8633 / 9136 ti = "14/8633/9136"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8633/9136.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8633 ÷ 214
    8633 ÷ 16384     		x = 0.52691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9136 ÷ 214
    9136 ÷ 16384     		y = 0.5576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52691650390625 × 2 - 1) × π
    0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5576171875 × 2 - 1) × π
    -0.115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.362019465930664
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16912138} λ = 0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.362019465930664))-π/2
    2×atan(0.696268814189394)-π/2
    2×0.608217420849933-π/2
    1.21643484169987-1.57079632675     		φ = -0.35436149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35436149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.303418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8633 KachelY 9136 0.16912138 -0.35436149 9.689941 -20.303418
    Oben rechts KachelX + 1 8634 KachelY 9136 0.16950488 -0.35436149 9.711914 -20.303418
    Unten links KachelX 8633 KachelY + 1 9137 0.16912138 -0.35472113 9.689941 -20.324024
    Unten rechts KachelX + 1 8634 KachelY + 1 9137 0.16950488 -0.35472113 9.711914 -20.324024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35436149--0.35472113) × R
    0.000359639999999994 × 6371000     		dl = 2291.26643999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35436149--0.35472113) × R
    0.000359639999999994 × 6371000     		dr = 2291.26643999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16912138-0.16950488) × cos(-0.35436149) × R
    0.000383500000000009 × 0.93786823759148 × 6371000     		do = 2291.47330074021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16912138-0.16950488) × cos(-0.35472113) × R
    0.000383500000000009 × 0.937743384883577 × 6371000     		du = 2291.16825080332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35436149)-sin(-0.35472113))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93786823759148-0.937743384883577)×R²
    abs(0.16950488-0.16912138)×0.000124852707902967×R²
    0.000383500000000009×0.000124852707902967×6371000²
    0.000383500000000009×0.000124852707902967×40589641000000     		ar = 5250026.4533877m²