Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8633 / 8765
↖ ↑ ↗
← S 12.490214°
E  9.689941°		 ← 2 385.45 m → S 12.490214°
E  9.711914°		 →
↑
2 385.37 m
↓
↑
2 385.37 m
↓
S 12.511666°
E  9.689941°		 ← 2 385.26 m →
5 689 943 m²		 S 12.511666°
E  9.711914°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8765 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526947021484375 y=0.535003662109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526947021484375 × 214)
    floor (0.526947021484375 × 16384)
    floor (8633.5)     		tx = 8633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.535003662109375 × 214)
    floor (0.535003662109375 × 16384)
    floor (8765.5)     		ty = 8765
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8633 / 8765 ti = "14/8633/8765"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8633/8765.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8633 ÷ 214
    8633 ÷ 16384     		x = 0.52691650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8765 ÷ 214
    8765 ÷ 16384     		y = 0.53497314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52691650390625 × 2 - 1) × π
    0.0538330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16912138
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53497314453125 × 2 - 1) × π
    -0.0699462890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.219742747858337
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16912138} λ = 0.16912138}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.219742747858337))-π/2
    2×atan(0.802725274199067)-π/2
    2×0.676400487056121-π/2
    1.35280097411224-1.57079632675     		φ = -0.21799535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16912138} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.689941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21799535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.490214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8633 KachelY 8765 0.16912138 -0.21799535 9.689941 -12.490214
    Oben rechts KachelX + 1 8634 KachelY 8765 0.16950488 -0.21799535 9.711914 -12.490214
    Unten links KachelX 8633 KachelY + 1 8766 0.16912138 -0.21836976 9.689941 -12.511666
    Unten rechts KachelX + 1 8634 KachelY + 1 8766 0.16950488 -0.21836976 9.711914 -12.511666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21799535--0.21836976) × R
    0.000374409999999992 × 6371000     		dl = 2385.36610999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21799535--0.21836976) × R
    0.000374409999999992 × 6371000     		dr = 2385.36610999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16912138-0.16950488) × cos(-0.21799535) × R
    0.000383500000000009 × 0.976332962170869 × 6371000     		do = 2385.45333531345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16912138-0.16950488) × cos(-0.21836976) × R
    0.000383500000000009 × 0.976251919021273 × 6371000     		du = 2385.25532432847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21799535)-sin(-0.21836976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976332962170869-0.976251919021273)×R²
    abs(0.16950488-0.16912138)×8.10431495961161e-05×R²
    0.000383500000000009×8.10431495961161e-05×6371000²
    0.000383500000000009×8.10431495961161e-05×40589641000000     		ar = 5689943.4451658m²