Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8633 / 7881
↖ ↑ ↗
← N 79.487636°
W132.577514°		 ← 111.44 m → N 79.487636°
W132.572021°		 →
↑
111.43 m
↓
↑
111.43 m
↓
N 79.486634°
W132.577514°		 ← 111.45 m →
12 418 m²		 N 79.486634°
W132.572021°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8633 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7881 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131736755371094 y=0.120262145996094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131736755371094 × 216)
    floor (0.131736755371094 × 65536)
    floor (8633.5)     		tx = 8633
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.120262145996094 × 216)
    floor (0.120262145996094 × 65536)
    floor (7881.5)     		ty = 7881
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8633 / 7881 ti = "16/8633/7881"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8633/7881.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8633 ÷ 216
    8633 ÷ 65536     		x = 0.131729125976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7881 ÷ 216
    7881 ÷ 65536     		y = 0.120254516601562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131729125976562 × 2 - 1) × π
    -0.736541748046875 × 3.1415926535     		Λ = -2.31391414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.120254516601562 × 2 - 1) × π
    0.759490966796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.38601124168868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31391414} λ = -2.31391414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.38601124168868))-π/2
    2×atan(10.870049355951)-π/2
    2×1.47905864239271-π/2
    2.95811728478543-1.57079632675     		φ = 1.38732096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31391414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.577514°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38732096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.487636°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8633 KachelY 7881 -2.31391414 1.38732096 -132.577514 79.487636
    Oben rechts KachelX + 1 8634 KachelY 7881 -2.31381827 1.38732096 -132.572021 79.487636
    Unten links KachelX 8633 KachelY + 1 7882 -2.31391414 1.38730347 -132.577514 79.486634
    Unten rechts KachelX + 1 8634 KachelY + 1 7882 -2.31381827 1.38730347 -132.572021 79.486634
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38732096-1.38730347) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dl = 111.42879000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38732096-1.38730347) × R
    1.74900000000644e-05 × 6371000     		dr = 111.42879000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31391414--2.31381827) × cos(1.38732096) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182447703070015 × 6371000     		do = 111.436825699754m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31391414--2.31381827) × cos(1.38730347) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.182464899482237 × 6371000     		du = 111.447329058027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38732096)-sin(1.38730347))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.182447703070015-0.182464899482237)×R²
    abs(-2.31381827--2.31391414)×1.71964122223367e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.71964122223367e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.71964122223367e-05×40589641000000     		ar = 12417.8558379602m²