Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8632 / 9128
↖ ↑ ↗
← S 20.138470°
E  9.667969°		 ← 2 293.84 m → S 20.138470°
E  9.689941°		 →
↑
2 293.75 m
↓
↑
2 293.75 m
↓
S 20.159098°
E  9.667969°		 ← 2 293.54 m →
5 261 161 m²		 S 20.159098°
E  9.689941°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8632 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526885986328125 y=0.557159423828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526885986328125 × 214)
    floor (0.526885986328125 × 16384)
    floor (8632.5)     		tx = 8632
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557159423828125 × 214)
    floor (0.557159423828125 × 16384)
    floor (9128.5)     		ty = 9128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8632 / 9128 ti = "14/8632/9128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8632/9128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8632 ÷ 214
    8632 ÷ 16384     		x = 0.52685546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9128 ÷ 214
    9128 ÷ 16384     		y = 0.55712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52685546875 × 2 - 1) × π
    0.0537109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16873789
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55712890625 × 2 - 1) × π
    -0.1142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.35895150435498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16873789} λ = 0.16873789}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35895150435498))-π/2
    2×atan(0.698408220287449)-π/2
    2×0.609656856768563-π/2
    1.21931371353713-1.57079632675     		φ = -0.35148261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16873789} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.667969°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35148261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.138470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8632 KachelY 9128 0.16873789 -0.35148261 9.667969 -20.138470
    Oben rechts KachelX + 1 8633 KachelY 9128 0.16912138 -0.35148261 9.689941 -20.138470
    Unten links KachelX 8632 KachelY + 1 9129 0.16873789 -0.35184264 9.667969 -20.159098
    Unten rechts KachelX + 1 8633 KachelY + 1 9129 0.16912138 -0.35184264 9.689941 -20.159098
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35148261--0.35184264) × R
    0.000360030000000011 × 6371000     		dl = 2293.75113000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35148261--0.35184264) × R
    0.000360030000000011 × 6371000     		dr = 2293.75113000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16873789-0.16912138) × cos(-0.35148261) × R
    0.000383489999999986 × 0.938863296882702 × 6371000     		do = 2293.8446927319m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16873789-0.16912138) × cos(-0.35184264) × R
    0.000383489999999986 × 0.93873928125295 × 6371000     		du = 2293.5416959111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35148261)-sin(-0.35184264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938863296882702-0.93873928125295)×R²
    abs(0.16912138-0.16873789)×0.00012401562975195×R²
    0.000383489999999986×0.00012401562975195×6371000²
    0.000383489999999986×0.00012401562975195×40589641000000     		ar = 5261161.41317886m²