Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8631 / 9065
↖ ↑ ↗
← S 18.833515°
E  9.645996°		 ← 2 312.47 m → S 18.833515°
E  9.667969°		 →
↑
2 312.29 m
↓
↑
2 312.29 m
↓
S 18.854310°
E  9.645996°		 ← 2 312.18 m →
5 346 765 m²		 S 18.854310°
E  9.667969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8631 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9065 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526824951171875 y=0.553314208984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526824951171875 × 214)
    floor (0.526824951171875 × 16384)
    floor (8631.5)     		tx = 8631
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.553314208984375 × 214)
    floor (0.553314208984375 × 16384)
    floor (9065.5)     		ty = 9065
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8631 / 9065 ti = "14/8631/9065"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8631/9065.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8631 ÷ 214
    8631 ÷ 16384     		x = 0.52679443359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9065 ÷ 214
    9065 ÷ 16384     		y = 0.55328369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52679443359375 × 2 - 1) × π
    0.0535888671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16835439
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55328369140625 × 2 - 1) × π
    -0.1065673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.334791306946472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16835439} λ = 0.16835439}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.334791306946472))-π/2
    2×atan(0.715487388020674)-π/2
    2×0.621044736705572-π/2
    1.24208947341114-1.57079632675     		φ = -0.32870685
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16835439} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.645996°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.32870685 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -18.833515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8631 KachelY 9065 0.16835439 -0.32870685 9.645996 -18.833515
    Oben rechts KachelX + 1 8632 KachelY 9065 0.16873789 -0.32870685 9.667969 -18.833515
    Unten links KachelX 8631 KachelY + 1 9066 0.16835439 -0.32906979 9.645996 -18.854310
    Unten rechts KachelX + 1 8632 KachelY + 1 9066 0.16873789 -0.32906979 9.667969 -18.854310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.32870685--0.32906979) × R
    0.000362939999999978 × 6371000     		dl = 2312.29073999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.32870685--0.32906979) × R
    0.000362939999999978 × 6371000     		dr = 2312.29073999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16835439-0.16873789) × cos(-0.32870685) × R
    0.000383500000000009 × 0.946460588650409 × 6371000     		do = 2312.46680734694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16835439-0.16873789) × cos(-0.32906979) × R
    0.000383500000000009 × 0.946343362249595 × 6371000     		du = 2312.1803906022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.32870685)-sin(-0.32906979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.946460588650409-0.946343362249595)×R²
    abs(0.16873789-0.16835439)×0.000117226400814685×R²
    0.000383500000000009×0.000117226400814685×6371000²
    0.000383500000000009×0.000117226400814685×40589641000000     		ar = 5346764.50448435m²