Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8629 / 9134
↖ ↑ ↗
← S 20.262197°
E  9.602051°		 ← 2 292.08 m → S 20.262197°
E  9.624024°		 →
↑
2 291.90 m
↓
↑
2 291.90 m
↓
S 20.282809°
E  9.602051°		 ← 2 291.78 m →
5 252 883 m²		 S 20.282809°
E  9.624024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526702880859375 y=0.557525634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526702880859375 × 214)
    floor (0.526702880859375 × 16384)
    floor (8629.5)     		tx = 8629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557525634765625 × 214)
    floor (0.557525634765625 × 16384)
    floor (9134.5)     		ty = 9134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8629 / 9134 ti = "14/8629/9134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8629/9134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8629 ÷ 214
    8629 ÷ 16384     		x = 0.52667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9134 ÷ 214
    9134 ÷ 16384     		y = 0.5574951171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52667236328125 × 2 - 1) × π
    0.0533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16758740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5574951171875 × 2 - 1) × π
    -0.114990234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.361252475536743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16758740} λ = 0.16758740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.361252475536743))-π/2
    2×atan(0.696803050532345)-π/2
    2×0.608577136649177-π/2
    1.21715427329835-1.57079632675     		φ = -0.35364205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16758740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.602051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35364205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.262197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8629 KachelY 9134 0.16758740 -0.35364205 9.602051 -20.262197
    Oben rechts KachelX + 1 8630 KachelY 9134 0.16797090 -0.35364205 9.624024 -20.262197
    Unten links KachelX 8629 KachelY + 1 9135 0.16758740 -0.35400179 9.602051 -20.282809
    Unten rechts KachelX + 1 8630 KachelY + 1 9135 0.16797090 -0.35400179 9.624024 -20.282809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35364205--0.35400179) × R
    0.000359739999999997 × 6371000     		dl = 2291.90353999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35364205--0.35400179) × R
    0.000359739999999997 × 6371000     		dr = 2291.90353999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16758740-0.16797090) × cos(-0.35364205) × R
    0.000383500000000009 × 0.938117634487603 × 6371000     		do = 2292.08264681447m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16758740-0.16797090) × cos(-0.35400179) × R
    0.000383500000000009 × 0.93799298979389 × 6371000     		du = 2291.77810511418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35364205)-sin(-0.35400179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938117634487603-0.93799298979389)×R²
    abs(0.16797090-0.16758740)×0.000124644693713094×R²
    0.000383500000000009×0.000124644693713094×6371000²
    0.000383500000000009×0.000124644693713094×40589641000000     		ar = 5252883.3987553m²