Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8629 / 8094
↖ ↑ ↗
← N  2.152814°
E  9.602051°		 ← 2 441.55 m → N  2.152814°
E  9.624024°		 →
↑
2 441.56 m
↓
↑
2 441.56 m
↓
N  2.130856°
E  9.602051°		 ← 2 441.59 m →
5 961 239 m²		 N  2.130856°
E  9.624024°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8629 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8094 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526702880859375 y=0.494049072265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526702880859375 × 214)
    floor (0.526702880859375 × 16384)
    floor (8629.5)     		tx = 8629
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494049072265625 × 214)
    floor (0.494049072265625 × 16384)
    floor (8094.5)     		ty = 8094
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8629 / 8094 ti = "14/8629/8094"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8629/8094.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8629 ÷ 214
    8629 ÷ 16384     		x = 0.52667236328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8094 ÷ 214
    8094 ÷ 16384     		y = 0.4940185546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52667236328125 × 2 - 1) × π
    0.0533447265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16758740
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4940185546875 × 2 - 1) × π
    0.011962890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.037582529302124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16758740} λ = 0.16758740}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.037582529302124))-π/2
    2×atan(1.03829768352917)-π/2
    2×0.804185006000539-π/2
    1.60837001200108-1.57079632675     		φ = 0.03757369
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16758740} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.602051°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03757369 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 2.152814°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8629 KachelY 8094 0.16758740 0.03757369 9.602051 2.152814
    Oben rechts KachelX + 1 8630 KachelY 8094 0.16797090 0.03757369 9.624024 2.152814
    Unten links KachelX 8629 KachelY + 1 8095 0.16758740 0.03719046 9.602051 2.130856
    Unten rechts KachelX + 1 8630 KachelY + 1 8095 0.16797090 0.03719046 9.624024 2.130856
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03757369-0.03719046) × R
    0.000383229999999998 × 6371000     		dl = 2441.55832999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03757369-0.03719046) × R
    0.000383229999999998 × 6371000     		dr = 2441.55832999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16758740-0.16797090) × cos(0.03757369) × R
    0.000383500000000009 × 0.999294191953022 × 6371000     		do = 2441.55401437375m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16758740-0.16797090) × cos(0.03719046) × R
    0.000383500000000009 × 0.999308514549214 × 6371000     		du = 2441.58900846509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03757369)-sin(0.03719046))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999294191953022-0.999308514549214)×R²
    abs(0.16797090-0.16758740)×1.43225961913851e-05×R²
    0.000383500000000009×1.43225961913851e-05×6371000²
    0.000383500000000009×1.43225961913851e-05×40589641000000     		ar = 5961239.33495496m²