Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8628 / 7572
↖ ↑ ↗
← N 79.792852°
W132.604980°		 ← 108.24 m → N 79.792852°
W132.599487°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 79.791879°
W132.604980°		 ← 108.25 m →
11 716 m²		 N 79.791879°
W132.599487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8628 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131660461425781 y=0.115547180175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131660461425781 × 216)
    floor (0.131660461425781 × 65536)
    floor (8628.5)     		tx = 8628
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115547180175781 × 216)
    floor (0.115547180175781 × 65536)
    floor (7572.5)     		ty = 7572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8628 / 7572 ti = "16/8628/7572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8628/7572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8628 ÷ 216
    8628 ÷ 65536     		x = 0.13165283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7572 ÷ 216
    7572 ÷ 65536     		y = 0.11553955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.13165283203125 × 2 - 1) × π
    -0.7366943359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31439351
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11553955078125 × 2 - 1) × π
    0.7689208984375 × 3.1415926535     		Φ = 2.41563624565387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31439351} λ = -2.31439351}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41563624565387))-π/2
    2×atan(11.1968920656482)-π/2
    2×1.48172215708195-π/2
    2.96344431416389-1.57079632675     		φ = 1.39264799
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31439351} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.604980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39264799 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.792852°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8628 KachelY 7572 -2.31439351 1.39264799 -132.604980 79.792852
    Oben rechts KachelX + 1 8629 KachelY 7572 -2.31429764 1.39264799 -132.599487 79.792852
    Unten links KachelX 8628 KachelY + 1 7573 -2.31439351 1.39263100 -132.604980 79.791879
    Unten rechts KachelX + 1 8629 KachelY + 1 7573 -2.31429764 1.39263100 -132.599487 79.791879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39264799-1.39263100) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39264799-1.39263100) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31439351--2.31429764) × cos(1.39264799) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177207520385961 × 6371000     		do = 108.236186203768m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31439351--2.31429764) × cos(1.39263100) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.177224241468292 × 6371000     		du = 108.246399236357m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39264799)-sin(1.39263100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177207520385961-0.177224241468292)×R²
    abs(-2.31429764--2.31439351)×1.67210823312502e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.67210823312502e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.67210823312502e-05×40589641000000     		ar = 11716.3936383262m²