Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8622 / 9107
↖ ↑ ↗
← S 19.704657°
E  9.448242°		 ← 2 300.21 m → S 19.704657°
E  9.470215°		 →
↑
2 300.06 m
↓
↑
2 300.06 m
↓
S 19.725342°
E  9.448242°		 ← 2 299.91 m →
5 290 270 m²		 S 19.725342°
E  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8622 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9107 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526275634765625 y=0.555877685546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526275634765625 × 214)
    floor (0.526275634765625 × 16384)
    floor (8622.5)     		tx = 8622
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555877685546875 × 214)
    floor (0.555877685546875 × 16384)
    floor (9107.5)     		ty = 9107
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8622 / 9107 ti = "14/8622/9107"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8622/9107.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8622 ÷ 214
    8622 ÷ 16384     		x = 0.5262451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9107 ÷ 214
    9107 ÷ 16384     		y = 0.55584716796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5262451171875 × 2 - 1) × π
    0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55584716796875 × 2 - 1) × π
    -0.1116943359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.350898105218811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16490293} λ = 0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.350898105218811))-π/2
    2×atan(0.704055489780877)-π/2
    2×0.613442587033205-π/2
    1.22688517406641-1.57079632675     		φ = -0.34391115
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34391115 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.704657°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8622 KachelY 9107 0.16490293 -0.34391115 9.448242 -19.704657
    Oben rechts KachelX + 1 8623 KachelY 9107 0.16528643 -0.34391115 9.470215 -19.704657
    Unten links KachelX 8622 KachelY + 1 9108 0.16490293 -0.34427217 9.448242 -19.725342
    Unten rechts KachelX + 1 8623 KachelY + 1 9108 0.16528643 -0.34427217 9.470215 -19.725342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34391115--0.34427217) × R
    0.00036101999999999 × 6371000     		dl = 2300.05841999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34391115--0.34427217) × R
    0.00036101999999999 × 6371000     		dr = 2300.05841999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16490293-0.16528643) × cos(-0.34391115) × R
    0.000383500000000009 × 0.941443140118968 × 6371000     		do = 2300.20778322521m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16490293-0.16528643) × cos(-0.34427217) × R
    0.000383500000000009 × 0.94132135301138 × 6371000     		du = 2299.91022340367m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34391115)-sin(-0.34427217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941443140118968-0.94132135301138)×R²
    abs(0.16528643-0.16490293)×0.000121787107587146×R²
    0.000383500000000009×0.000121787107587146×6371000²
    0.000383500000000009×0.000121787107587146×40589641000000     		ar = 5290270.13452922m²