Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8620 / 9108
↖ ↑ ↗
← S 19.725342°
E  9.404297°		 ← 2 299.91 m → S 19.725342°
E  9.426270°		 →
↑
2 299.74 m
↓
↑
2 299.74 m
↓
S 19.746024°
E  9.404297°		 ← 2 299.61 m →
5 288 853 m²		 S 19.746024°
E  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8620 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9108 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526153564453125 y=0.555938720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526153564453125 × 214)
    floor (0.526153564453125 × 16384)
    floor (8620.5)     		tx = 8620
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.555938720703125 × 214)
    floor (0.555938720703125 × 16384)
    floor (9108.5)     		ty = 9108
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8620 / 9108 ti = "14/8620/9108"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8620/9108.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8620 ÷ 214
    8620 ÷ 16384     		x = 0.526123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9108 ÷ 214
    9108 ÷ 16384     		y = 0.555908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.526123046875 × 2 - 1) × π
    0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.555908203125 × 2 - 1) × π
    -0.11181640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.351281600415771
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16413594} λ = 0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.351281600415771))-π/2
    2×atan(0.70378553964775)-π/2
    2×0.613262079246499-π/2
    1.226524158493-1.57079632675     		φ = -0.34427217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34427217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -19.725342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8620 KachelY 9108 0.16413594 -0.34427217 9.404297 -19.725342
    Oben rechts KachelX + 1 8621 KachelY 9108 0.16451944 -0.34427217 9.426270 -19.725342
    Unten links KachelX 8620 KachelY + 1 9109 0.16413594 -0.34463314 9.404297 -19.746024
    Unten rechts KachelX + 1 8621 KachelY + 1 9109 0.16451944 -0.34463314 9.426270 -19.746024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34427217--0.34463314) × R
    0.000360970000000016 × 6371000     		dl = 2299.7398700001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34427217--0.34463314) × R
    0.000360970000000016 × 6371000     		dr = 2299.7398700001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16413594-0.16451944) × cos(-0.34427217) × R
    0.000383499999999981 × 0.94132135301138 × 6371000     		do = 2299.9102234035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16413594-0.16451944) × cos(-0.34463314) × R
    0.000383499999999981 × 0.941199460108833 × 6371000     		du = 2299.61240509541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34427217)-sin(-0.34463314))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94132135301138-0.941199460108833)×R²
    abs(0.16451944-0.16413594)×0.00012189290254716×R²
    0.000383499999999981×0.00012189290254716×6371000²
    0.000383499999999981×0.00012189290254716×40589641000000     		ar = 5288852.84329116m²