Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8618 / 8710
↖ ↑ ↗
← S 11.307708°
E  9.360351°		 ← 2 395.85 m → S 11.307708°
E  9.382324°		 →
↑
2 395.75 m
↓
↑
2 395.75 m
↓
S 11.329253°
E  9.360351°		 ← 2 395.67 m →
5 739 644 m²		 S 11.329253°
E  9.382324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526031494140625 y=0.531646728515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526031494140625 × 214)
    floor (0.526031494140625 × 16384)
    floor (8618.5)     		tx = 8618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.531646728515625 × 214)
    floor (0.531646728515625 × 16384)
    floor (8710.5)     		ty = 8710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8618 / 8710 ti = "14/8618/8710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8618/8710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8618 ÷ 214
    8618 ÷ 16384     		x = 0.5260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8710 ÷ 214
    8710 ÷ 16384     		y = 0.5316162109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5316162109375 × 2 - 1) × π
    -0.063232421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.198650512025513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16336895} λ = 0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.198650512025513))-π/2
    2×atan(0.819836366221637)-π/2
    2×0.686719798223408-π/2
    1.37343959644682-1.57079632675     		φ = -0.19735673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.19735673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -11.307708°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8618 KachelY 8710 0.16336895 -0.19735673 9.360351 -11.307708
    Oben rechts KachelX + 1 8619 KachelY 8710 0.16375245 -0.19735673 9.382324 -11.307708
    Unten links KachelX 8618 KachelY + 1 8711 0.16336895 -0.19773277 9.360351 -11.329253
    Unten rechts KachelX + 1 8619 KachelY + 1 8711 0.16375245 -0.19773277 9.382324 -11.329253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.19735673--0.19773277) × R
    0.000376039999999994 × 6371000     		dl = 2395.75083999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.19735673--0.19773277) × R
    0.000376039999999994 × 6371000     		dr = 2395.75083999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16336895-0.16375245) × cos(-0.19735673) × R
    0.000383499999999981 × 0.980588290111766 × 6371000     		do = 2395.85028658172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16336895-0.16375245) × cos(-0.19773277) × R
    0.000383499999999981 × 0.980514487589553 × 6371000     		du = 2395.66996646595m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.19735673)-sin(-0.19773277))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980588290111766-0.980514487589553)×R²
    abs(0.16375245-0.16336895)×7.38025222131178e-05×R²
    0.000383499999999981×7.38025222131178e-05×6371000²
    0.000383499999999981×7.38025222131178e-05×40589641000000     		ar = 5739644.4031927m²