Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8618 / 8120
↖ ↑ ↗
← N  1.581830°
E  9.360351°		 ← 2 442.35 m → N  1.581830°
E  9.382324°		 →
↑
2 442.32 m
↓
↑
2 442.32 m
↓
N  1.559866°
E  9.360351°		 ← 2 442.37 m →
5 965 032 m²		 N  1.559866°
E  9.382324°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8618 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.526031494140625 y=0.495635986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.526031494140625 × 214)
    floor (0.526031494140625 × 16384)
    floor (8618.5)     		tx = 8618
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495635986328125 × 214)
    floor (0.495635986328125 × 16384)
    floor (8120.5)     		ty = 8120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8618 / 8120 ti = "14/8618/8120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8618/8120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8618 ÷ 214
    8618 ÷ 16384     		x = 0.5260009765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8120 ÷ 214
    8120 ÷ 16384     		y = 0.49560546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5260009765625 × 2 - 1) × π
    0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49560546875 × 2 - 1) × π
    0.0087890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.0276116541811523
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16336895} λ = 0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0276116541811523))-π/2
    2×atan(1.02799638879467)-π/2
    2×0.799202236553956-π/2
    1.59840447310791-1.57079632675     		φ = 0.02760815
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.02760815 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.581830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8618 KachelY 8120 0.16336895 0.02760815 9.360351 1.581830
    Oben rechts KachelX + 1 8619 KachelY 8120 0.16375245 0.02760815 9.382324 1.581830
    Unten links KachelX 8618 KachelY + 1 8121 0.16336895 0.02722480 9.360351 1.559866
    Unten rechts KachelX + 1 8619 KachelY + 1 8121 0.16375245 0.02722480 9.382324 1.559866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.02760815-0.02722480) × R
    0.000383350000000001 × 6371000     		dl = 2442.32285000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.02760815-0.02722480) × R
    0.000383350000000001 × 6371000     		dr = 2442.32285000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16336895-0.16375245) × cos(0.02760815) × R
    0.000383499999999981 × 0.999618919233007 × 6371000     		do = 2442.34741355512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16336895-0.16375245) × cos(0.02722480) × R
    0.000383499999999981 × 0.999629428022007 × 6371000     		du = 2442.37308945335m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.02760815)-sin(0.02722480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999618919233007-0.999629428022007)×R²
    abs(0.16375245-0.16336895)×1.05087889999966e-05×R²
    0.000383499999999981×1.05087889999966e-05×6371000²
    0.000383499999999981×1.05087889999966e-05×40589641000000     		ar = 5965032.32323094m²