Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8616 / 8744
↖ ↑ ↗
← S 12.039320°
E  9.316406°		 ← 2 389.54 m → S 12.039320°
E  9.338379°		 →
↑
2 389.44 m
↓
↑
2 389.44 m
↓
S 12.060809°
E  9.316406°		 ← 2 389.35 m →
5 709 437 m²		 S 12.060809°
E  9.338379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8744 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525909423828125 y=0.533721923828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525909423828125 × 214)
    floor (0.525909423828125 × 16384)
    floor (8616.5)     		tx = 8616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533721923828125 × 214)
    floor (0.533721923828125 × 16384)
    floor (8744.5)     		ty = 8744
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8616 / 8744 ti = "14/8616/8744"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8616/8744.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8616 ÷ 214
    8616 ÷ 16384     		x = 0.52587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8744 ÷ 214
    8744 ÷ 16384     		y = 0.53369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52587890625 × 2 - 1) × π
    0.0517578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.16260196
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53369140625 × 2 - 1) × π
    -0.0673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.211689348722168
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16260196} λ = 0.16260196}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.211689348722168))-π/2
    2×atan(0.809216042521814)-π/2
    2×0.680335271684346-π/2
    1.36067054336869-1.57079632675     		φ = -0.21012578
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16260196} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.316406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.21012578 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.039320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8616 KachelY 8744 0.16260196 -0.21012578 9.316406 -12.039320
    Oben rechts KachelX + 1 8617 KachelY 8744 0.16298546 -0.21012578 9.338379 -12.039320
    Unten links KachelX 8616 KachelY + 1 8745 0.16260196 -0.21050083 9.316406 -12.060809
    Unten rechts KachelX + 1 8617 KachelY + 1 8745 0.16298546 -0.21050083 9.338379 -12.060809
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.21012578--0.21050083) × R
    0.000375049999999988 × 6371000     		dl = 2389.44354999992m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.21012578--0.21050083) × R
    0.000375049999999988 × 6371000     		dr = 2389.44354999992m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16260196-0.16298546) × cos(-0.21012578) × R
    0.000383500000000009 × 0.978004686901493 × 6371000     		do = 2389.5378244057m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16260196-0.16298546) × cos(-0.21050083) × R
    0.000383500000000009 × 0.977926389096791 × 6371000     		du = 2389.34652106288m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.21012578)-sin(-0.21050083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978004686901493-0.977926389096791)×R²
    abs(0.16298546-0.16260196)×7.8297804701255e-05×R²
    0.000383500000000009×7.8297804701255e-05×6371000²
    0.000383500000000009×7.8297804701255e-05×40589641000000     		ar = 5709437.25466313m²