Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8615 / 9127
↖ ↑ ↗
← S 20.117840°
E  9.294434°		 ← 2 294.15 m → S 20.117840°
E  9.316406°		 →
↑
2 294.01 m
↓
↑
2 294.01 m
↓
S 20.138470°
E  9.294434°		 ← 2 293.84 m →
5 262 441 m²		 S 20.138470°
E  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9127 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525848388671875 y=0.557098388671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525848388671875 × 214)
    floor (0.525848388671875 × 16384)
    floor (8615.5)     		tx = 8615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557098388671875 × 214)
    floor (0.557098388671875 × 16384)
    floor (9127.5)     		ty = 9127
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8615 / 9127 ti = "14/8615/9127"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8615/9127.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8615 ÷ 214
    8615 ÷ 16384     		x = 0.52581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9127 ÷ 214
    9127 ÷ 16384     		y = 0.55706787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52581787109375 × 2 - 1) × π
    0.0516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16221847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55706787109375 × 2 - 1) × π
    -0.1141357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.35856800915802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16221847} λ = 0.16221847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35856800915802))-π/2
    2×atan(0.69867610784896)-π/2
    2×0.609836893432121-π/2
    1.21967378686424-1.57079632675     		φ = -0.35112254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16221847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35112254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.117840°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8615 KachelY 9127 0.16221847 -0.35112254 9.294434 -20.117840
    Oben rechts KachelX + 1 8616 KachelY 9127 0.16260196 -0.35112254 9.316406 -20.117840
    Unten links KachelX 8615 KachelY + 1 9128 0.16221847 -0.35148261 9.294434 -20.138470
    Unten rechts KachelX + 1 8616 KachelY + 1 9128 0.16260196 -0.35148261 9.316406 -20.138470
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35112254--0.35148261) × R
    0.00036006999999999 × 6371000     		dl = 2294.00596999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35112254--0.35148261) × R
    0.00036006999999999 × 6371000     		dr = 2294.00596999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16221847-0.16260196) × cos(-0.35112254) × R
    0.000383489999999986 × 0.938987204573575 × 6371000     		do = 2294.14742583483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16221847-0.16260196) × cos(-0.35148261) × R
    0.000383489999999986 × 0.938863296882702 × 6371000     		du = 2293.8446927319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35112254)-sin(-0.35148261))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.938987204573575-0.938863296882702)×R²
    abs(0.16260196-0.16221847)×0.000123907690873337×R²
    0.000383489999999986×0.000123907690873337×6371000²
    0.000383489999999986×0.000123907690873337×40589641000000     		ar = 5262440.71200915m²