Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8615 / 8743
↖ ↑ ↗
← S 12.017830°
E  9.294434°		 ← 2 389.67 m → S 12.017830°
E  9.316406°		 →
↑
2 389.57 m
↓
↑
2 389.57 m
↓
S 12.039320°
E  9.294434°		 ← 2 389.48 m →
5 710 050 m²		 S 12.039320°
E  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8615 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525848388671875 y=0.533660888671875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525848388671875 × 214)
    floor (0.525848388671875 × 16384)
    floor (8615.5)     		tx = 8615
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.533660888671875 × 214)
    floor (0.533660888671875 × 16384)
    floor (8743.5)     		ty = 8743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8615 / 8743 ti = "14/8615/8743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8615/8743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8615 ÷ 214
    8615 ÷ 16384     		x = 0.52581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8743 ÷ 214
    8743 ÷ 16384     		y = 0.53363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52581787109375 × 2 - 1) × π
    0.0516357421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16221847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.53363037109375 × 2 - 1) × π
    -0.0672607421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.211305853525208
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16221847} λ = 0.16221847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.211305853525208))-π/2
    2×atan(0.809526432500154)-π/2
    2×0.680522809230343-π/2
    1.36104561846069-1.57079632675     		φ = -0.20975071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16221847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.20975071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -12.017830°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8615 KachelY 8743 0.16221847 -0.20975071 9.294434 -12.017830
    Oben rechts KachelX + 1 8616 KachelY 8743 0.16260196 -0.20975071 9.316406 -12.017830
    Unten links KachelX 8615 KachelY + 1 8744 0.16221847 -0.21012578 9.294434 -12.039320
    Unten rechts KachelX + 1 8616 KachelY + 1 8744 0.16260196 -0.21012578 9.316406 -12.039320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.20975071--0.21012578) × R
    0.000375070000000005 × 6371000     		dl = 2389.57097000003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.20975071--0.21012578) × R
    0.000375070000000005 × 6371000     		dr = 2389.57097000003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16221847-0.16260196) × cos(-0.20975071) × R
    0.000383489999999986 × 0.978082851301931 × 6371000     		do = 2389.66648814616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16221847-0.16260196) × cos(-0.21012578) × R
    0.000383489999999986 × 0.978004686901493 × 6371000     		du = 2389.47551572696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.20975071)-sin(-0.21012578))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.978082851301931-0.978004686901493)×R²
    abs(0.16260196-0.16221847)×7.81644004379523e-05×R²
    0.000383489999999986×7.81644004379523e-05×6371000²
    0.000383489999999986×7.81644004379523e-05×40589641000000     		ar = 5710049.5639211m²