Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 8614 / 9126
↖ ↑ ↗
← S 20.097206°
E  9.272461°		 ← 2 294.51 m → S 20.097206°
E  9.294434°		 →
↑
2 294.32 m
↓
↑
2 294.32 m
↓
S 20.117840°
E  9.272461°		 ← 2 294.21 m →
5 264 003 m²		 S 20.117840°
E  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525787353515625 y=0.557037353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525787353515625 × 214)
    floor (0.525787353515625 × 16384)
    floor (8614.5)     		tx = 8614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.557037353515625 × 214)
    floor (0.557037353515625 × 16384)
    floor (9126.5)     		ty = 9126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8614 / 9126 ti = "14/8614/9126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8614/9126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8614 ÷ 214
    8614 ÷ 16384     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9126 ÷ 214
    9126 ÷ 16384     		y = 0.5570068359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5570068359375 × 2 - 1) × π
    -0.114013671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.35818451396106
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.35818451396106))-π/2
    2×atan(0.698944098163766)-π/2
    2×0.610016953844795-π/2
    1.22003390768959-1.57079632675     		φ = -0.35076242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35076242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.097206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8614 KachelY 9126 0.16183497 -0.35076242 9.272461 -20.097206
    Oben rechts KachelX + 1 8615 KachelY 9126 0.16221847 -0.35076242 9.294434 -20.097206
    Unten links KachelX 8614 KachelY + 1 9127 0.16183497 -0.35112254 9.272461 -20.117840
    Unten rechts KachelX + 1 8615 KachelY + 1 9127 0.16221847 -0.35112254 9.294434 -20.117840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35076242--0.35112254) × R
    0.000360119999999964 × 6371000     		dl = 2294.32451999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35076242--0.35112254) × R
    0.000360119999999964 × 6371000     		dr = 2294.32451999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16221847) × cos(-0.35076242) × R
    0.000383500000000009 × 0.939111007705075 × 6371000     		do = 2294.5097342392m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16221847) × cos(-0.35112254) × R
    0.000383500000000009 × 0.938987204573575 × 6371000     		du = 2294.20724870977m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35076242)-sin(-0.35112254))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.939111007705075-0.938987204573575)×R²
    abs(0.16221847-0.16183497)×0.000123803131499844×R²
    0.000383500000000009×0.000123803131499844×6371000²
    0.000383500000000009×0.000123803131499844×40589641000000     		ar = 5264003.00154846m²