Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8614 / 9123
↖ ↑ ↗
← S 20.035290°
E  9.272461°		 ← 2 295.42 m → S 20.035290°
E  9.294434°		 →
↑
2 295.28 m
↓
↑
2 295.28 m
↓
S 20.055932°
E  9.272461°		 ← 2 295.11 m →
5 268 276 m²		 S 20.055932°
E  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9123 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525787353515625 y=0.556854248046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525787353515625 × 214)
    floor (0.525787353515625 × 16384)
    floor (8614.5)     		tx = 8614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556854248046875 × 214)
    floor (0.556854248046875 × 16384)
    floor (9123.5)     		ty = 9123
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8614 / 9123 ti = "14/8614/9123"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8614/9123.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8614 ÷ 214
    8614 ÷ 16384     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9123 ÷ 214
    9123 ÷ 16384     		y = 0.55682373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55682373046875 × 2 - 1) × π
    -0.1136474609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.357034028370178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357034028370178))-π/2
    2×atan(0.699748686022157)-π/2
    2×0.61055727737522-π/2
    1.22111455475044-1.57079632675     		φ = -0.34968177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.34968177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.035290°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8614 KachelY 9123 0.16183497 -0.34968177 9.272461 -20.035290
    Oben rechts KachelX + 1 8615 KachelY 9123 0.16221847 -0.34968177 9.294434 -20.035290
    Unten links KachelX 8614 KachelY + 1 9124 0.16183497 -0.35004204 9.272461 -20.055932
    Unten rechts KachelX + 1 8615 KachelY + 1 9124 0.16221847 -0.35004204 9.294434 -20.055932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.34968177--0.35004204) × R
    0.000360269999999996 × 6371000     		dl = 2295.28016999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.34968177--0.35004204) × R
    0.000360269999999996 × 6371000     		dr = 2295.28016999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16221847) × cos(-0.34968177) × R
    0.000383500000000009 × 0.93948178564951 × 6371000     		do = 2295.41564801911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16221847) × cos(-0.35004204) × R
    0.000383500000000009 × 0.939358296593452 × 6371000     		du = 2295.11392986346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.34968177)-sin(-0.35004204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93948178564951-0.939358296593452)×R²
    abs(0.16221847-0.16183497)×0.000123489056058301×R²
    0.000383500000000009×0.000123489056058301×6371000²
    0.000383500000000009×0.000123489056058301×40589641000000     		ar = 5268275.81193866m²