Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8614 / 8113
↖ ↑ ↗
← N  1.735575°
E  9.272461°		 ← 2 442.16 m → N  1.735575°
E  9.294434°		 →
↑
2 442.13 m
↓
↑
2 442.13 m
↓
N  1.713612°
E  9.272461°		 ← 2 442.19 m →
5 964 105 m²		 N  1.713612°
E  9.294434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8614 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8113 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525787353515625 y=0.495208740234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525787353515625 × 214)
    floor (0.525787353515625 × 16384)
    floor (8614.5)     		tx = 8614
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.495208740234375 × 214)
    floor (0.495208740234375 × 16384)
    floor (8113.5)     		ty = 8113
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8614 / 8113 ti = "14/8614/8113"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8614/8113.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8614 ÷ 214
    8614 ÷ 16384     		x = 0.5257568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8113 ÷ 214
    8113 ÷ 16384     		y = 0.49517822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5257568359375 × 2 - 1) × π
    0.051513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.16183497
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.49517822265625 × 2 - 1) × π
    0.0096435546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0302961205598755
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16183497} λ = 0.16183497}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0302961205598755))-π/2
    2×atan(1.03075971791043)-π/2
    2×0.800543906922032-π/2
    1.60108781384406-1.57079632675     		φ = 0.03029149
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16183497} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.272461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03029149 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.735575°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8614 KachelY 8113 0.16183497 0.03029149 9.272461 1.735575
    Oben rechts KachelX + 1 8615 KachelY 8113 0.16221847 0.03029149 9.294434 1.735575
    Unten links KachelX 8614 KachelY + 1 8114 0.16183497 0.02990817 9.272461 1.713612
    Unten rechts KachelX + 1 8615 KachelY + 1 8114 0.16221847 0.02990817 9.294434 1.713612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03029149-0.02990817) × R
    0.000383319999999999 × 6371000     		dl = 2442.13172m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03029149-0.02990817) × R
    0.000383319999999999 × 6371000     		dr = 2442.13172m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16183497-0.16221847) × cos(0.03029149) × R
    0.000383500000000009 × 0.999541247896664 × 6371000     		do = 2442.15764084914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16183497-0.16221847) × cos(0.02990817) × R
    0.000383500000000009 × 0.99955278402129 × 6371000     		du = 2442.18582681442m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03029149)-sin(0.02990817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999541247896664-0.99955278402129)×R²
    abs(0.16221847-0.16183497)×1.15361246264545e-05×R²
    0.000383500000000009×1.15361246264545e-05×6371000²
    0.000383500000000009×1.15361246264545e-05×40589641000000     		ar = 5964105.12990557m²