Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8613 / 9125
↖ ↑ ↗
← S 20.076570°
E  9.250488°		 ← 2 294.75 m → S 20.076570°
E  9.272461°		 →
↑
2 294.64 m
↓
↑
2 294.64 m
↓
S 20.097206°
E  9.250488°		 ← 2 294.45 m →
5 265 290 m²		 S 20.097206°
E  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8613 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525726318359375 y=0.556976318359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525726318359375 × 214)
    floor (0.525726318359375 × 16384)
    floor (8613.5)     		tx = 8613
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.556976318359375 × 214)
    floor (0.556976318359375 × 16384)
    floor (9125.5)     		ty = 9125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8613 / 9125 ti = "14/8613/9125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8613/9125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8613 ÷ 214
    8613 ÷ 16384     		x = 0.52569580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9125 ÷ 214
    9125 ÷ 16384     		y = 0.55694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.52569580078125 × 2 - 1) × π
    0.0513916015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16145148
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.55694580078125 × 2 - 1) × π
    -0.1138916015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.357801018764099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16145148} λ = 0.16145148}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.357801018764099))-π/2
    2×atan(0.69921219127128)-π/2
    2×0.610197037986363-π/2
    1.22039407597273-1.57079632675     		φ = -0.35040225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16145148} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.250488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.35040225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -20.076570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8613 KachelY 9125 0.16145148 -0.35040225 9.250488 -20.076570
    Oben rechts KachelX + 1 8614 KachelY 9125 0.16183497 -0.35040225 9.272461 -20.076570
    Unten links KachelX 8613 KachelY + 1 9126 0.16145148 -0.35076242 9.250488 -20.097206
    Unten rechts KachelX + 1 8614 KachelY + 1 9126 0.16183497 -0.35076242 9.272461 -20.097206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.35040225--0.35076242) × R
    0.000360169999999993 × 6371000     		dl = 2294.64306999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.35040225--0.35076242) × R
    0.000360169999999993 × 6371000     		dr = 2294.64306999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16145148-0.16183497) × cos(-0.35040225) × R
    0.000383489999999986 × 0.93923470621042 × 6371000     		do = 2294.75212549452m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16145148-0.16183497) × cos(-0.35076242) × R
    0.000383489999999986 × 0.939111007705075 × 6371000     		du = 2294.44990347676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.35040225)-sin(-0.35076242))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.93923470621042-0.939111007705075)×R²
    abs(0.16183497-0.16145148)×0.000123698505345105×R²
    0.000383489999999986×0.000123698505345105×6371000²
    0.000383489999999986×0.000123698505345105×40589641000000     		ar = 5265290.37322282m²