Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8610 / 8106
↖ ↑ ↗
← N  1.889306°
E  9.184570°		 ← 2 441.95 m → N  1.889306°
E  9.206543°		 →
↑
2 441.94 m
↓
↑
2 441.94 m
↓
N  1.867345°
E  9.184570°		 ← 2 441.98 m →
5 963 135 m²		 N  1.867345°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525543212890625 y=0.494781494140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525543212890625 × 214)
    floor (0.525543212890625 × 16384)
    floor (8610.5)     		tx = 8610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.494781494140625 × 214)
    floor (0.494781494140625 × 16384)
    floor (8106.5)     		ty = 8106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8610 / 8106 ti = "14/8610/8106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8610/8106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8610 ÷ 214
    8610 ÷ 16384     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8106 ÷ 214
    8106 ÷ 16384     		y = 0.4947509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4947509765625 × 2 - 1) × π
    0.010498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.0329805869385986
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.0329805869385986))-π/2
    2×atan(1.03353047505598)-π/2
    2×0.801885468211514-π/2
    1.60377093642303-1.57079632675     		φ = 0.03297461
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.03297461 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 1.889306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8610 KachelY 8106 0.16030099 0.03297461 9.184570 1.889306
    Oben rechts KachelX + 1 8611 KachelY 8106 0.16068449 0.03297461 9.206543 1.889306
    Unten links KachelX 8610 KachelY + 1 8107 0.16030099 0.03259132 9.184570 1.867345
    Unten rechts KachelX + 1 8611 KachelY + 1 8107 0.16068449 0.03259132 9.206543 1.867345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.03297461-0.03259132) × R
    0.000383290000000001 × 6371000     		dl = 2441.94059000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.03297461-0.03259132) × R
    0.000383290000000001 × 6371000     		dr = 2441.94059000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16068449) × cos(0.03297461) × R
    0.000383500000000009 × 0.999456386807366 × 6371000     		do = 2441.95030157418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16068449) × cos(0.03259132) × R
    0.000383500000000009 × 0.999468949939347 × 6371000     		du = 2441.98099680444m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.03297461)-sin(0.03259132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.999456386807366-0.999468949939347)×R²
    abs(0.16068449-0.16030099)×1.25631319816133e-05×R²
    0.000383500000000009×1.25631319816133e-05×6371000²
    0.000383500000000009×1.25631319816133e-05×40589641000000     		ar = 5963135.11114543m²