Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 8610 / 7454
↖ ↑ ↗
← N 79.907079°
W132.703857°		 ← 107.04 m → N 79.907079°
W132.698364°		 →
↑
107.03 m
↓
↑
107.03 m
↓
N 79.906117°
W132.703857°		 ← 107.05 m →
11 457 m²		 N 79.906117°
W132.698364°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7454 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.131385803222656 y=0.113746643066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.131385803222656 × 216)
    floor (0.131385803222656 × 65536)
    floor (8610.5)     		tx = 8610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113746643066406 × 216)
    floor (0.113746643066406 × 65536)
    floor (7454.5)     		ty = 7454
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 8610 / 7454 ti = "16/8610/7454"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/8610/7454.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8610 ÷ 216
    8610 ÷ 65536     		x = 0.131378173828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7454 ÷ 216
    7454 ÷ 65536     		y = 0.113739013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.131378173828125 × 2 - 1) × π
    -0.73724365234375 × 3.1415926535     		Λ = -2.31611924
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113739013671875 × 2 - 1) × π
    0.77252197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.4269493539642
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.31611924} λ = -2.31611924}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4269493539642))-π/2
    2×atan(11.3242829530906)-π/2
    2×1.48271898072087-π/2
    2.96543796144174-1.57079632675     		φ = 1.39464163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.31611924} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -132.703857°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39464163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.907079°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8610 KachelY 7454 -2.31611924 1.39464163 -132.703857 79.907079
    Oben rechts KachelX + 1 8611 KachelY 7454 -2.31602337 1.39464163 -132.698364 79.907079
    Unten links KachelX 8610 KachelY + 1 7455 -2.31611924 1.39462483 -132.703857 79.906117
    Unten rechts KachelX + 1 8611 KachelY + 1 7455 -2.31602337 1.39462483 -132.698364 79.906117
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39464163-1.39462483) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dl = 107.032800000248m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39464163-1.39462483) × R
    1.6800000000039e-05 × 6371000     		dr = 107.032800000248m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.31611924--2.31602337) × cos(1.39464163) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175245081847914 × 6371000     		do = 107.037552745353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.31611924--2.31602337) × cos(1.39462483) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.175261621840501 × 6371000     		du = 107.047655170541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39464163)-sin(1.39462483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175245081847914-0.175261621840501)×R²
    abs(-2.31602337--2.31611924)×1.65399925867171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.65399925867171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.65399925867171e-05×40589641000000     		ar = 11457.0696213206m²