Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8610 / 5578
↖ ↑ ↗
← N 49.696062°
E  9.184570°		 ← 1 580.42 m → N 49.696062°
E  9.206543°		 →
↑
1 580.58 m
↓
↑
1 580.58 m
↓
N 49.681847°
E  9.184570°		 ← 1 580.88 m →
2 498 341 m²		 N 49.681847°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5578 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525543212890625 y=0.340484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525543212890625 × 214)
    floor (0.525543212890625 × 16384)
    floor (8610.5)     		tx = 8610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.340484619140625 × 214)
    floor (0.340484619140625 × 16384)
    floor (5578.5)     		ty = 5578
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8610 / 5578 ti = "14/8610/5578"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8610/5578.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8610 ÷ 214
    8610 ÷ 16384     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5578 ÷ 214
    5578 ÷ 16384     		y = 0.3404541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3404541015625 × 2 - 1) × π
    0.319091796875 × 3.1415926535     		Φ = 1.00245644485461
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00245644485461))-π/2
    2×atan(2.72496734581054)-π/2
    2×1.21907811539729-π/2
    2.43815623079457-1.57079632675     		φ = 0.86735990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.86735990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.696062°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8610 KachelY 5578 0.16030099 0.86735990 9.184570 49.696062
    Oben rechts KachelX + 1 8611 KachelY 5578 0.16068449 0.86735990 9.206543 49.696062
    Unten links KachelX 8610 KachelY + 1 5579 0.16030099 0.86711181 9.184570 49.681847
    Unten rechts KachelX + 1 8611 KachelY + 1 5579 0.16068449 0.86711181 9.206543 49.681847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.86735990-0.86711181) × R
    0.000248089999999923 × 6371000     		dl = 1580.58138999951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.86735990-0.86711181) × R
    0.000248089999999923 × 6371000     		dr = 1580.58138999951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16068449) × cos(0.86735990) × R
    0.000383500000000009 × 0.646842202461983 × 6371000     		do = 1580.41564616805m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16068449) × cos(0.86711181) × R
    0.000383500000000009 × 0.647031381909497 × 6371000     		du = 1580.8778642448m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.86735990)-sin(0.86711181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.646842202461983-0.647031381909497)×R²
    abs(0.16068449-0.16030099)×0.000189179447513954×R²
    0.000383500000000009×0.000189179447513954×6371000²
    0.000383500000000009×0.000189179447513954×40589641000000     		ar = 2498340.85825521m²