Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 8610 / 5432
↖ ↑ ↗
← N 51.727028°
E  9.184570°		 ← 1 513.39 m → N 51.727028°
E  9.206543°		 →
↑
1 513.56 m
↓
↑
1 513.56 m
↓
N 51.713416°
E  9.184570°		 ← 1 513.84 m →
2 290 946 m²		 N 51.713416°
E  9.206543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.525543212890625 y=0.331573486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.525543212890625 × 214)
    floor (0.525543212890625 × 16384)
    floor (8610.5)     		tx = 8610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.331573486328125 × 214)
    floor (0.331573486328125 × 16384)
    floor (5432.5)     		ty = 5432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 8610 / 5432 ti = "14/8610/5432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/8610/5432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8610 ÷ 214
    8610 ÷ 16384     		x = 0.5255126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5432 ÷ 214
    5432 ÷ 16384     		y = 0.33154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5255126953125 × 2 - 1) × π
    0.051025390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.16030099
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33154296875 × 2 - 1) × π
    0.3369140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.05844674361084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.16030099} λ = 0.16030099}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05844674361084))-π/2
    2×atan(2.8818911951225)-π/2
    2×1.23680164019423-π/2
    2.47360328038846-1.57079632675     		φ = 0.90280695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.16030099} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 9.184570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.90280695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.727028°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8610 KachelY 5432 0.16030099 0.90280695 9.184570 51.727028
    Oben rechts KachelX + 1 8611 KachelY 5432 0.16068449 0.90280695 9.206543 51.727028
    Unten links KachelX 8610 KachelY + 1 5433 0.16030099 0.90256938 9.184570 51.713416
    Unten rechts KachelX + 1 8611 KachelY + 1 5433 0.16068449 0.90256938 9.206543 51.713416
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.90280695-0.90256938) × R
    0.00023757000000002 × 6371000     		dl = 1513.55847000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.90280695-0.90256938) × R
    0.00023757000000002 × 6371000     		dr = 1513.55847000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.16030099-0.16068449) × cos(0.90280695) × R
    0.000383500000000009 × 0.619408762868 × 6371000     		do = 1513.38811302702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.16030099-0.16068449) × cos(0.90256938) × R
    0.000383500000000009 × 0.619595254145754 × 6371000     		du = 1513.84376315639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.90280695)-sin(0.90256938))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.619408762868-0.619595254145754)×R²
    abs(0.16068449-0.16030099)×0.00018649127775372×R²
    0.000383500000000009×0.00018649127775372×6371000²
    0.000383500000000009×0.00018649127775372×40589641000000     		ar = 2290946.23420128m²