Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 8610 / 2466
↖ ↑ ↗
← N 82.066996°
W 85.407715°		 ← 168.60 m → N 82.066996°
W 85.396728°		 →
↑
168.64 m
↓
↑
168.64 m
↓
N 82.065480°
W 85.407715°		 ← 168.64 m →
28 436 m²		 N 82.065480°
W 85.396728°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 8610 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2466 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.262771606445312 y=0.0752716064453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.262771606445312 × 215)
    floor (0.262771606445312 × 32768)
    floor (8610.5)     		tx = 8610
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0752716064453125 × 215)
    floor (0.0752716064453125 × 32768)
    floor (2466.5)     		ty = 2466
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 8610 / 2466 ti = "15/8610/2466"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/8610/2466.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 8610 ÷ 215
    8610 ÷ 32768     		x = 0.26275634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2466 ÷ 215
    2466 ÷ 32768     		y = 0.07525634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.26275634765625 × 2 - 1) × π
    -0.4744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -1.49064583
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.07525634765625 × 2 - 1) × π
    0.8494873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.66874307564777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.49064583} λ = -1.49064583}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.66874307564777))-π/2
    2×atan(14.4218306456578)-π/2
    2×1.5015678089562-π/2
    3.0031356179124-1.57079632675     		φ = 1.43233929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.49064583} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -85.407715°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43233929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.066996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 8610 KachelY 2466 -1.49064583 1.43233929 -85.407715 82.066996
    Oben rechts KachelX + 1 8611 KachelY 2466 -1.49045408 1.43233929 -85.396728 82.066996
    Unten links KachelX 8610 KachelY + 1 2467 -1.49064583 1.43231282 -85.407715 82.065480
    Unten rechts KachelX + 1 8611 KachelY + 1 2467 -1.49045408 1.43231282 -85.396728 82.065480
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43233929-1.43231282) × R
    2.64700000001117e-05 × 6371000     		dl = 168.640370000712m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43233929-1.43231282) × R
    2.64700000001117e-05 × 6371000     		dr = 168.640370000712m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.49064583--1.49045408) × cos(1.43233929) × R
    0.000191750000000157 × 0.138015082295629 × 6371000     		do = 168.604641624459m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.49064583--1.49045408) × cos(1.43231282) × R
    0.000191750000000157 × 0.138041298932745 × 6371000     		du = 168.636668897363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43233929)-sin(1.43231282))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.138015082295629-0.138041298932745)×R²
    abs(-1.49045408--1.49064583)×2.62166371157446e-05×R²
    0.000191750000000157×2.62166371157446e-05×6371000²
    0.000191750000000157×2.62166371157446e-05×40589641000000     		ar = 28436.2496947306m²