Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
11 / 861 / 266
↖ ↑ ↗
← N 78.836065°
W 28.652344°		 ← 3 784.43 m → N 78.836065°
W 28.476563°		 →
↑
3 790.11 m
↓
↑
3 790.11 m
↓
N 78.801980°
W 28.652344°		 ← 3 795.84 m →
14 365 014 m²		 N 78.801980°
W 28.476563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 861 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.420654296875 y=0.130126953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.420654296875 × 211)
    floor (0.420654296875 × 2048)
    floor (861.5)     		tx = 861
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.130126953125 × 211)
    floor (0.130126953125 × 2048)
    floor (266.5)     		ty = 266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 861 / 266 ti = "11/861/266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/861/266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 861 ÷ 211
    861 ÷ 2048     		x = 0.42041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 266 ÷ 211
    266 ÷ 2048     		y = 0.1298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42041015625 × 2 - 1) × π
    -0.1591796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.50007774
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1298828125 × 2 - 1) × π
    0.740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.32551487436816
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.50007774} λ = -0.50007774}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.32551487436816))-π/2
    2×atan(10.2319468969953)-π/2
    2×1.47337261913024-π/2
    2.94674523826048-1.57079632675     		φ = 1.37594891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.50007774} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -28.652344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37594891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.836065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 861 KachelY 266 -0.50007774 1.37594891 -28.652344 78.836065
    Oben rechts KachelX + 1 862 KachelY 266 -0.49700978 1.37594891 -28.476563 78.836065
    Unten links KachelX 861 KachelY + 1 267 -0.50007774 1.37535401 -28.652344 78.801980
    Unten rechts KachelX + 1 862 KachelY + 1 267 -0.49700978 1.37535401 -28.476563 78.801980
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37594891-1.37535401) × R
    0.000594900000000065 × 6371000     		dl = 3790.10790000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37594891-1.37535401) × R
    0.000594900000000065 × 6371000     		dr = 3790.10790000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.50007774--0.49700978) × cos(1.37594891) × R
    0.00306796000000004 × 0.193616841309623 × 6371000     		do = 3784.42958356191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.50007774--0.49700978) × cos(1.37535401) × R
    0.00306796000000004 × 0.194200449854465 × 6371000     		du = 3795.83678051534m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37594891)-sin(1.37535401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.193616841309623-0.194200449854465)×R²
    abs(-0.49700978--0.50007774)×0.000583608544841741×R²
    0.00306796000000004×0.000583608544841741×6371000²
    0.00306796000000004×0.000583608544841741×40589641000000     		ar = 14365014.13896m²